列维-奇维塔符号

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列维-奇维塔符号(Levi-Civita symbol),又称列维-奇维塔ε,为一在线性代数张量分析微分几何等数学范畴中常见到的符号。对于正整数 n ,它以1, 2, ..., n 所形成排列的奇偶性来定义。它以意大利数学家和物理学家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名称包括排列符号反对称符号交替符号。这些名称与它排列和反对称的性质有关。

列维-奇维塔符号的标准记号是希腊小写字母 εϵ ,较不常见的也有以拉丁文小写 e 记号。下标符能与张量分析兼容的方式来显示排列:

其中每个下标指标 a1, a2, ..., an 取值介乎 1n 。在 εa1a2...an 中,共有 nn 个指标排列,可以排成为一个 n 维阵列。

当任何两个指标相等,则定义符号值等于 0

当全部指标都不相等时,我们定义:

其中 p 称为“排列的奇偶性” (parity of permutation),是要将 a1, a2, ..., an 变换成自然次序 1, 2, ..., n ,所需的对换次数。而因子 (−1)p 被称为“排列正负号” (signum of permutation)。这里, ε12...n 的值必须有定义,否则其他特定排列的符号值将无法确定。大多数作者选择 +1 作为自然次序的值:

在本文中,也将使用这个定义。

从定义可知,当任何两个指标互换,则须加上负号:

这称为“完全反对称性”。

n 维列维-奇维塔符号”一词是指符号上的指标数 n ,和所讨论的向量空间维度相符,其中可指欧几里得空间非欧几里得空间,例如 R3n = 3闵可夫斯基空间n = 4

列维-奇维塔符号的值,与参考座标系无关。此外,这里使用“符号”一词。强调了它并不是一个张量;然而,它可以被理解为张量的密度。

列维-奇维塔符号可用来表示正方矩阵行列式,及三维欧几里德空间中的两个向量叉积

定义

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列维-奇维塔符号最常用于三维和四维,并在一定程度上用于二维,因此在定义一般情况之前,先给出这些符号值。

二维

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在二维中,列维-奇维塔符号定义如下:

   
 
 

这些值可以排列成 2×2 反对称矩阵

 

相对于其他维度,二维的列维-奇维塔符号并不常见,虽然在某些专门的主题,如超对称扭量理论中,谈及2-旋量时会用到。

三维

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对于 εijk 的指标 (i, j, k) ,数字 1, 2, 3  循环排列的次序,对应 ε = +1。在   反循环排列的次序,则对应 ε = −1。其余情况下, ε = 0

三维以上的列维-奇维塔符号更常用。在三维中,列维-奇维塔符号定义如下:

     
   
   

也就是说,如果 (i, j, k)(1, 2, 3) 的偶排列,则符号值为 +1 。如果是奇排列,则符号值为 −1 。如果任何两个索引重复,则符号值为 0

仅在三维中, (1, 2, 3) 的循环排列都是偶排列,反循环排列都是奇排列。这意味着在三维中,仅观察 (i, j, k)(1, 2, 3) 的循环排列,还是反循环排列,就足以分辨其奇偶性。

类似于二维矩阵,三维列维-奇维塔符号的值可以排成 3×3×3 阵列:

 

其中 i 是深度 (蓝色: i = 1; 红色: i = 2; 绿色: i = 3) , j 是横行,k 是直列。

以下是一些例子:

 

四维

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在四维中,列维-奇维塔符号定义如下:

    的偶排列
  的奇排列
其余情况,即任意两个指标相等

这些值可以排成 4×4×4×4 阵列,然而四维以上较难描绘出示意图。

以下是一些例子:

 

推广到高维

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更一般地推广到 n 维中,则列维-奇维塔符号的定义为:

     的偶排列
   的奇排列
其余情况,即任意两个指标相等

又可使用求积符号 表达为:

 

其中的 sgn(x)符号函数,根据 x 的正负给出 +10−1。该公式对对于任何 n 及任何指标排列都有效(当 n = 01 时,定义为空积 1)。

然而,计算以上公式的时间复杂度O(n2) ,而以不交循环排列的性质计算,则只需 O(n log(n))

两个列维-奇维塔符号的积,可以用一个以广义克罗内克函数表示的行列式求得:

 

应用和范例

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行列式

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线性代数中, 3×3 的方阵 A = (aij)

 

行列式可以写为:

 

类似地, n×n 矩阵 A = (aij) 的行列式可以写为:

 

向量的叉积

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对于向量 ab ,它们的叉积

 

对于向量 abc ,它们的三重积

 

性质

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由列维-奇维塔符号给出(共变等级为n张量正交基础中的组成部分,有时称为“置换张量”。

根据普通的张量变换规则,列维-奇维塔符号在纯旋转下不变,与正交变换相关的所有座标系统(在定义上)相同。然而,列维-奇维塔符号是一种赝张量,因为在雅可比行列式−1的正交变换之下,例如,一个奇数维度的镜射,如果它是一个张量,它“应该”有一个负号。由于它根本没有改变,所以列维-奇维塔符号根据定义,是一个赝张量。

由于列维-奇维塔符号是赝张量,因此取叉积的结果是赝张量,而不是向量。

在一般座标变换下,置换张量的分量乘以变换矩阵雅可比。这表示在与定义张量的座标系不同的座标系中,其组成部分与列维-奇维塔符号表示的那些,不同之处在于一整体因子。如果座标是正交的,则根据座标的方向是否相同,因子将为±1。

在无指标的张量符号中,列维-奇维塔符号被霍奇对偶的概念所取代。

在使用张量的指标符号来操作分量的上下文中,列维-奇维塔符号可以将其指标写为下标或上标,而不改变意义,这也许是方便的如下写成:

 

在这些例子中,上标应该被视为与下标相同。

使用爱因斯坦标记法可消除求和符号,其中两个或多个项之间重复的指标表示该指标的求和。例如,

 .

以下的例子使用爱因斯坦标记法。

二维

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在二维上,当所有    各取值1和2时,

  1
  2
  3

三维

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指标和符号值

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在三维中,当所有     各取值1,2和3时:

  4
  5
  6

乘积

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列维-奇维塔符号与克罗内克函数有关。 在三维中,关系由以下等式给出(垂直线表示行列式):

 

这个结果的一个特例是(4):

 

有时候其被称为“contracted epsilon identity”。

在爱因斯坦标记法中, 指标的重复表示对于 的求和。由此,上述结论可表记为:

 

进一步可以知道:

 

指标和符号值

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n维中,当所有 take values 

  7
  8
  9

惊叹号( )代表阶乘,而 是广义克罗内克函数,对于任意n有属性:

 

从以下事实可得出:

  • 每个排列是偶排列或奇排列,
  •  ,与
  • 任何n-元素集合的排列数正好是 

乘积

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一般来说,对于n维,两个列维-奇维塔符号的乘积可以写成:

 

证明

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