克罗内克δ函数

提示：此条目的主题不是狄拉克δ函数，也不是克罗内克符号。

在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ）$\delta _{ij}\,\!$ 是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.\,\!$ 。

克罗内克函数的值一般简写为 $\delta _{ij}\,\!$ 。

克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。

其它记法

另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：

$\delta _{ij}=[i=j]\,\!$ 。

同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为 $\delta _{i}\,\!$ ：

$\delta _{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=0\\0,&{\mbox{if }}i\neq 0\end{matrix}}\right.\,\!$ 。

在线性代数中，克罗内克函数可以被看做一个张量，写作 $\delta _{j}^{i}\,\!$ 。

数字信号处理

冲激函数

类似的，在数字信号处理中，与克罗内克函数等价的概念是变量为 $\mathbb {Z} \,\!$ (整数)的函数：

$\delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}\,\!$ 。

这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。

性质

克罗内克函数有筛选性：对任意 $j\in \mathbb {Z} \,\!$ ：

$\sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}\,\!$ 。

如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间，那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的：

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y)\,\!$ 。

实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 $\delta (t)\,\,\!$ 为连续的情况（狄拉克函数） ，而使用i, j, k, l, m, and n 等变量一般是在 离散的情况下（克罗内克函数）。

线性代数中的应用

在线性代数中，单位矩阵可以写作 $(\delta _{ij})_{i,j=1}^{n}\,\!$ 。

在看做是张量时（克罗内克张量），可以写作 $\delta _{j}^{i}\,\!$ 。

这个(1,1)向量表示:

• 作为线性映射的单位矩阵。
• 迹数。
• 内积 $V^{*}\otimes V\to K\,\!$ 。
• 映射 $K\to V^{*}\otimes V\,\!$ ，将数量乘积表示为外积的形式。

广义克罗内克函数

定义广义克罗内克函数为 $n\times n\,\!$ 矩阵的行列式，以方程式表达为

$\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{bmatrix}\delta _{i_{1}}^{j_{1}}\delta _{i_{2}}^{j_{1}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{1}}\\\delta _{i_{1}}^{j_{2}}\delta _{i_{2}}^{j_{2}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{2}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{1}}^{j_{n}}\delta _{i_{2}}^{j_{n}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{n}}\\\end{bmatrix}}\,\!$ ；

其中，$\delta _{j}^{i}\,\!$ 是个张量函数，定义为 $\delta _{j}^{i}\ {\stackrel {def}{=}}\ \delta _{ij}\,\!$ 。

以下列出涉及广义克罗内克函数的一些恒等式：

• $\delta _{imn}^{ijk}=\delta _{mn}^{jk}=\delta _{m}^{j}\delta _{n}^{k}-\delta _{n}^{j}\delta _{m}^{k}\,\!$ 。
• $\delta _{ijm}^{ijk}=2\delta _{m}^{k}\,\!$ 。
• $\delta _{ijk}^{ijk}=6\,\!$ 。
• $\delta _{lmn}^{ijk}=\epsilon ^{ijk}\epsilon _{lmn}\,\!$ ；

其中，$\epsilon ^{ijk}\,\!$ 和 $\epsilon _{lmn}\,\!$ 是列维-奇维塔符号。

• $\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}=\epsilon ^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}\epsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\,\!$ 。
• $\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{12\dots n}=\epsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\,\!$ 。
• $\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}T_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}=n!\ T_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\,\!$ ；

其中，$T_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}\,\!$ 是 $n\,\!$ 阶张量。

积分表示

对任意的整数 $n\,\!$ ，运用标准的留数计算，可以将克罗内克函数表示成积分的形式：

$\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint z^{x-n-1}dz\,\!$ ；

其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。

这个表示方式与下面的另一形式等价：

$\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }d\varphi \,\!$ 。

参见

• 列维-奇维塔符号
• 狄拉克测度
• 同或门