方块矩阵

方块矩阵，也称方阵、方矩阵或正方矩阵，是行数及列数皆相同的矩阵。由$n\times n\,$矩阵组成的集合，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成环。除了$n=1\,$，此环并不是交换环。

M(n, R)，即实方块矩阵环，是个实有单位的结合代数。M(n, C)，即复方块矩阵环，则是复结合代数。

单位矩阵$I_{n}\,$的对角线全是1而其他位置全是0，对所有$m\times n\,$矩阵$M\,$及$n\times k\,$矩阵$N\,$都有$MI_{n}=M\,$及$I_{n}N=N\,$。 例如，若$n=3\,$：

$I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,$

单位矩阵是方块矩阵环的单位元。

方块矩阵环的可逆元称为可逆矩阵或非奇异方阵。$n\times n\,$矩阵$A\,$是可逆当且仅当存在矩阵$B\,$使得

$AB=I_{n}(=BA)\,$。

此时$B\,$称为$A\,$的逆矩阵，并记作$A^{-1}\,$。 所有$n\times n\,$矩阵在乘法上组成一个群（亦是一个李群），称为一般线性群。

若数字$\lambda \,$和非零向量${\vec {v}}\,$满足$A{\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\,$，则${\vec {v}}\,$为$A\,$的一个特征向量，$\lambda \,$是其对应的特征值。数字$\lambda \,$为$A\,$的特征值当且仅当$A-\lambda I_{n}\,$可逆，又当且仅当$p_{A}(\lambda )=0\,$。这里，$p_{A}(x)\,$是$A\,$的特征多项式。特征多项式是一个$n\,$次多项式，有$n\,$个复根（考虑重根），即$A\,$有$n\,$个特征值。

方块矩阵$A\,$的行列式是其$n\,$个特征值的积，但亦可经由莱布尼茨公式计算出来。可逆矩阵正好是那些行列式非零的矩阵。

高斯-若尔当消元法非常重要，可以用来计算矩阵的行列式，秩，逆矩阵，并解决线性方程组。

矩阵的迹是$n\times n\,$矩阵的对角线元素之和，也是其$n\,$个特征值之和。

所有正交矩阵都是方块矩阵。

方块矩阵的等价命题

线性代数中，下列关于方块矩阵A的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：

1. A 可逆 ； A的反矩阵存在。
2. det(A) ≠ 0 。
3. rank(A) = n 。
4. Null(A) = 0 。
5. A的特征值中没有0。
6. 对任意b属于Fⁿ，Ax = b有唯一解。
7. Ax = 0只有平凡解。
8. A^TA可逆。
9. A与单位矩阵行（列）等价。
10. A的行向量或列向量张成Fⁿ 。
11. A的零空间只有零向量。
12. A的值域为Fⁿ 。
13. A的行（列）向量构成Fⁿ (Fⁿ)中向量的线性无关集。

这里，F为矩阵元素所属的域。通常，这个域为实数域或复数域。