可加范畴

在范畴论中，一个可加范畴是一个存在有限双积的预加法范畴。旧文献所谓的“可加范畴”有时指预可加范畴，在当代理论中则倾向于区别两者。

一如预可加范畴，对一交换环$k$也能定义$k$-可加范畴，可加范畴是$k=\mathbb {Z}$的情形。

例子

最直接的例子是交换群范畴Ab，此时的有限双积即群的有限直积。其它常见例子包括：

• 一个环上的左模范畴，包括域或除环上的向量空间范畴。
• 环上的矩阵代数。

基本性质

加法范畴是预可加范畴的特例，因此具有预可加范畴的性质，在此仅考虑可加范畴对双积的特性：

首先注意到空双积存在，称为零对象，记作$0$；它同时是范畴中的始对象与终对象。

给定加法范畴中的对象$A,B$，考虑与自身的双积$A^{n}$与$B^{m}$；透过双积的射影与内射态射，能够以矩阵表示从$A^{n}$至$B^{m}$的态射；若取$A=B$、$n=m$，则态射的合成对应于方阵乘法。

可加函子

一个预加法范畴间的函子$F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$若在同态集上给出群同态，则称作可加函子。如果${\mathcal {C}},{\mathcal {D}}$还是可加范畴，而且$F$保存双积的交换图，则称之为（可加范畴间的）可加函子。换言之：

若$B$是$A_{1},\ldots ,A_{n}$在${\mathcal {C}}$中的双积，设$p_{j}$为相应的投影而$i_{j}$为相应的内射，则$F(B)$是$F(A_{1}),\ldots ,F(A_{n})$的双积，使得$F(p_{j})$为相应的投影而$F(i_{j})$为相应的内射。

可加范畴间常见的函子都是可加函子。事实上，可以证明加法范畴间的伴随函子都是可加函子，而范畴论中的重要函子多以伴随函子的面貌出现。

特殊例子

• 一个预阿贝尔范畴是使每个态射都有核与上核的可加范畴。
• 一个阿贝尔范畴是一个使态射均为严格态射的预阿贝尔范畴。

应用最广的可加范畴通常都是阿贝尔范畴。

文献

• Nicolae Popescu, 1973, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, Academic Press, Inc.（已绝版） 该书对此主题有仔细介绍