区间套
在数学中,一串区间套是实数中的一串区间In(n=1, 2, 3, ...),使得对于每个n都有In + 1 是In的子集,有时我们要求它是真子集。换而言之,在这串区间中,区间从左边逐渐往右收缩,而在右边逐渐往左收缩。
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关于区间套的主要问题在于探讨所有区间In的交集(记作J)的性状。
事实上,当In都是开集时,J有可能为空集。例如开区间套(0, 2−n)的交集就是空集:任何一个正数x都在n充分大之后大于2−n,故而x不在J中。
但对于闭集而言,情况有所不同。事实上,我们有闭区间套定理,这一定理刻划了实数的完备性。定理声称对于任一的有界闭区间套In(例如In = [an, bn]并满足an ≤ bn),它们的交集In非空,且为闭区间;特别地,假若,则它们的交集J为一个包含且仅包含的单点集。
参考文献
编辑- Fridy, J. A., 3.3 The Nested Intervals Theorem, Introductory Analysis: The Theory of Calculus, Academic Press: 29, 2000 [2020-02-24], ISBN 9780122676550, (原始内容存档于2019-07-11).
- Shilov, Georgi E., 1.8 The Principle of Nested Intervals, Elementary Real and Complex Analysis, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications: 21–22, 2012 [2020-02-24], ISBN 9780486135007, (原始内容存档于2019-07-11).
- Sohrab, Houshang H., Theorem 2.1.5 (Nested Intervals Theorem), Basic Real Analysis, Springer: 45, 2003 [2020-02-24], ISBN 9780817642112, (原始内容存档于2019-07-11).