區間套
在數學中,一串區間套是實數中的一串區間In(n=1, 2, 3, ...),使得對於每個n都有In + 1 是In的子集,有時我們要求它是真子集。換而言之,在這串區間中,區間從左邊逐漸往右收縮,而在右邊逐漸往左收縮。
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關於區間套的主要問題在於探討所有區間In的交集(記作J)的性狀。
事實上,當In都是開集時,J有可能為空集。例如開區間套(0, 2−n)的交集就是空集:任何一個正數x都在n充分大之後大於2−n,故而x不在J中。
但對於閉集而言,情況有所不同。事實上,我們有閉區間套定理,這一定理刻劃了實數的完備性。定理聲稱對於任一的有界閉區間套In(例如In = [an, bn]並滿足an ≤ bn),它們的交集In非空,且為閉區間;特別地,假若,則它們的交集J為一個包含且僅包含的單點集。
參考文獻
編輯- Fridy, J. A., 3.3 The Nested Intervals Theorem, Introductory Analysis: The Theory of Calculus, Academic Press: 29, 2000 [2020-02-24], ISBN 9780122676550, (原始內容存檔於2019-07-11).
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