单环

在环论中，若某非无零因子环除了零理想及其本身两个理想外没有其他双边理想，则称该环为单环。特别地，交换环是单环当且仅当它是一个域。

单环的中心必是一个域，所以单环是该域上的一个结合代数。因此，单代数和单环是相同的概念。

此外，一些参考文献（例如Lang（2002）或Bourbaki（2012））还要求该环是左阿廷环或右阿廷环（即半单环）。在这种术语下，没有非平凡双边理想的非无零因子环被称为准单环（quasi-simple）。

存在在自身上不是单模的单环，即单环可以有非平凡的左理想和/或右理想：例如域上的全矩阵环，它没有非平凡理想（因为$M_{n}(R)$的任何理想都具有$M_{n}(I)$的形式，其中$I$是$R$的理想），但却有非平凡的左理想（例如，某些固定列为零的矩阵组成的集合）。

根据阿廷-韦德伯恩定理，所有单左/右阿廷环都是除环上的矩阵环。特别地，如果一个单环是实数域上的有限维度向量空间，则它必然与实数域、复数域或四元数域上的矩阵环同构。

单环，但非除环上的矩阵环的一个例子是外尔代数。

特征

如果一个环不包含非平凡的双边理想，则它是一个单代数。

单代数的直接示例是除法代数，其中每个非零元素都有一个乘法逆，比如四元数的实代数。此外，可以证明在除环中有元n  ×  n矩阵的代数是单代数。实际上，它可以描述所有有限维度的单代数，直到同构为止。换言之，在其中心上的任何有限维度单代数与某个除法环上的矩阵代数同构。1907年，约瑟夫·韦德伯恩在其博士学位论文《论超复数》中证明这一件事。该论文出现于伦敦数学学会论文集里。韦德伯恩在其论文中分类了单和半单代数。单代数是半单代数的构建块：在代数的意义上，任何有限维度的半单代数都是单代数的笛卡尔积。

后来阿廷-韦德伯恩定理将韦德伯恩的结果广义化到半单环。

例子

• 一个中心单代数（有时称为布饶尔代数）是一个域F上的有限维度单代数，且该域的中心为F。

设R为实数域，C为复数域，H为四元数域。

• R上的所有有限维度单代数都与R、C或H上的矩阵环同构。R上的所有中心单代数都与R或H上的矩阵环同构。这些结果由弗罗贝尼乌斯定理得出。
• C上的所有有限维度单代数都是中心单代数，与C上的矩阵环同构。
• 有限域上的所有有限维度的中心单代数都与该域上的矩阵环同构。
• 对于一个交换环，下列四个性质都是等价的：作为半单环、作为约化阿廷环、作为克鲁尔维数为0的约化诺特环以及与域的有限直积同构。

韦德伯恩定理

主条目：阿廷-韦德伯恩定理

韦德伯恩定理描述具有可逆元和最小左理想的环的特征（左阿廷环的条件是第二条假设的广义化）。也就是说，所有此类的环都是除环上的n × n矩阵，直至同构为止。

设D为一个除环，M_n(D)为D上有元矩阵的环。因此，可以证明M_n(D)中的所有左理想都用以下形式出现：

{M ∈ M_n(D) | M的第 n₁, ..., n_k行没有元},

对于某个固定{n₁, ..., n_k} ⊆ {1, ..., n}。因此，M_n(D)中最小理想的格式为

{M ∈ M_n(D) | 除第k行外其余所有行都没有元},

对于某个给定的k。换言之，如果I是一个最小左理想，则I = M_n(D)e，其中e是一个幂等矩阵，在(k, k)元为1，在所有其他地方为0。此外，D与eM_n(D)e同构。左理想I可以视作eM_n(D)e上的右模。环M_n(D)与该模上同胚的代数同构。

以上例子引出了下列引理：

引理：A是一个单位为1，幂等元素为e的环，其中AeA = A。设I为左理想Ae，视作一个eAe上的右模。则A与I上同胚的代数同构，以Hom(I)表示。

证明：我们使用Φ(a)m = am定义“左规则表示”为Φ : A → Hom(I)，对于m ∈ I。Φ是单射的，因为如果a ⋅ I = aAe = 0，则aA = aAeA = 0，暗示a = a ⋅ 1 = 0。

对于满射，设T ∈ Hom(I)。由于AeA = A，元素1可以表达成1 = Σa_ieb_i。因此

T(m) = T(1 ⋅ m) = T(Σa_ieb_im) = Σ T(a_ieeb_im) = Σ T(a_ie) eb_im = [ΣT(a_ie)eb_i]m.

由于表达式[ΣT(a_ie)eb_i]不取决于m，Φ是满射的。引理证毕。

从以上引理可以得出韦德伯恩定理。

定理（韦德伯恩）：如果A是一个有单位1和最小左理想I的环，则A与除环上n × n矩阵的环同构。

证明eAe是一个除环，只需验证引理的假设，即求一个幂等元素e使得I = Ae。表明A是单环后可以得出A = AeA这个假设。

参考文献

• A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3.  P.37.
• Bourbaki, Nicolas, Algèbre Ch. 8 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-540-35315-7 
• Henderson, D.W. A short proof of Wedderburn's theorem. Amer. Math. Monthly. 1965, 72: 385–386. doi:10.2307/2313499. 
• Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0 
• Lang, Serge, Algebra 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0387953854 
• Jacobson, Nathan, Basic algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 978-0-7167-1933-5