反函数的微分

数学上,可导双射函数反函数微分可由的导函数给出。若使用拉格朗日记法反函数[注 1]的导数公式为:

公式:

例如任意的 :

该表述等价于

其中 表示一元微分算子(在函数的空间上), 表示二元复合算子。

,则上式可用莱布尼兹符号写成:

换言之,函数及其反函数的导数均可逆[注 2],并且乘积为1。这是链式规则的直接结果,因为

相对于 的导数为1。

几何上,函数和反函数有关于直线 y = x.镜像的图像,这种映射将任何线的斜率变成其倒数

假设 的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零,则它的反函数保证在 x 处是可微的,并有上述公式给出的导数。

反函数举例

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  •   为正)具有逆  中。
 
 

但是,在 x = 0有一个问题:平方根函数图像变为垂直的,相对应平方函数的水平切线。

  •   (  为实数)具有逆   为正值)
 
 

其他属性

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  • 对反函数积分有如下公式
 [注 3]

可见,具有连续导数的函数(光滑函数)在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的,则上述积分公式不成立。

高阶导数

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上面给出的链式法则是通过对等式 关于 微分得到的。对于更高阶的导数,可以继续同样的过程。对恒等式对 求导两次,得到

 

使用链式法则进一步简化为

  

用之前得到的恒等式替换一阶导数,得到

  

对三阶导数类似:

 

或者用二阶导数的公式,

 

这些公式是由Faa di Bruno公式推广。

这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果  是互逆的,则

 

反函数的微分举例

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  •   有逆运算 。使用反函数的二次导数公式,
 

于是,

 ,

与直接计算相同。

注释

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  1. ^   的反函数,意思是若 ,则 。准确定义请参阅反函数
  2. ^ 前提均存在
  3. ^ 这仅在积分存在的情况下适用。特别地,需要 在整个积分范围内非零

参见

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