反函數的微分

數學上，可導雙射函數$f$的反函數微分可由$f$的導函數$f'$給出。若使用拉格朗日記法，反函數$f^{-1}$的導數公式為：

公式：
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}$
例如任意的 $x_{0}\approx 5.8$:
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}$
${\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x_{0}))=4~$

$\left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}},$

該表述等價於

${\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},$

其中 ${\mathcal {D}}$ 表示一元微分算子（在函數的空間上），$\circ$ 表示二元複合算子。

記$y=f(x)$，則上式可用萊布尼茲符號寫成：

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.$

換言之，函數及其反函數的導數均可逆，並且乘積為1。這是鏈式規則的直接結果，因為

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}},$

而 $x$ 相對於 $x$ 的導數為1。

幾何上，函數和反函數有關於直線 y = x.鏡像的圖像，這種映射將任何線的斜率變成其倒數。

假設 $f$ 在$x$的鄰域有一個反函數並且它在該點的導數不為零，則它的反函數保證在 x 處是可微的，並有上述公式給出的導數。

反函數舉例

• $\,y=x^{2}$（$x$為正）具有逆 $x={\sqrt {y}}$中。

${\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.$

但是，在 x = 0有一個問題：平方根函數圖像變為垂直的，相對應平方函數的水平切線。

• $\,y=e^{x}$ ( $x$為實數)具有逆 $\,x=\ln {y}$（$y$為正值）

${\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1$

其他屬性

• 對反函數積分有如下公式

${f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+\mathrm {C}$

可見，具有連續導數的函數（光滑函數）在其導數非零的每一點的鄰域內都有反函數。如果導數不連續的，則上述積分公式不成立。

高階導數

上面給出的鏈式法則是通過對等式$x=f^{-1}(f(x))$關於$x$微分得到的。對於更高階的導數，可以繼續同樣的過程。對恆等式對$x$求導兩次，得到

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,$

使用鏈式法則進一步簡化為

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0$

用之前得到的恆等式替換一階導數，得到

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.$

對三階導數類似：

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$

或者用二階導數的公式，

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}$

這些公式是由Faa di Bruno公式推廣。

這些公式也可以用拉格朗日表示法來表示。如果$f$和$g$是互逆的，則

$g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}$

反函數的微分舉例

• $\,y=e^{x}$ 有逆運算$\,x=\ln y$。使用反函數的二次導數公式，

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};$

於是，

${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}$,

與直接計算相同。

參見

• 微積分
• 反函數
• 鏈式法則
• 反函數定理
• 隱函數定理
• 反函數的積分