反函数的微分

数学上，可导双射函数$f$的反函数微分可由$f$的导函数$f'$给出。若使用拉格朗日记法，反函数$f^{-1}$的导数公式为：

公式：
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}$
例如任意的 $x_{0}\approx 5.8$:
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}$
${\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x_{0}))=4~$

$\left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}},$

该表述等价于

${\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},$

其中 ${\mathcal {D}}$ 表示一元微分算子（在函数的空间上），$\circ$ 表示二元复合算子。

记$y=f(x)$，则上式可用莱布尼兹符号写成：

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.$

换言之，函数及其反函数的导数均可逆，并且乘积为1。这是链式规则的直接结果，因为

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}},$

而 $x$ 相对于 $x$ 的导数为1。

几何上，函数和反函数有关于直线 y = x.镜像的图像，这种映射将任何线的斜率变成其倒数。

假设 $f$ 在$x$的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零，则它的反函数保证在 x 处是可微的，并有上述公式给出的导数。

反函数举例

• $\,y=x^{2}$（$x$为正）具有逆 $x={\sqrt {y}}$中。

${\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.$

但是，在 x = 0有一个问题：平方根函数图像变为垂直的，相对应平方函数的水平切线。

• $\,y=e^{x}$ ( $x$为实数)具有逆 $\,x=\ln {y}$（$y$为正值）

${\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1$

其他属性

• 对反函数积分有如下公式

${f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+\mathrm {C}$

可见，具有连续导数的函数（光滑函数）在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的，则上述积分公式不成立。

高阶导数

上面给出的链式法则是通过对等式$x=f^{-1}(f(x))$关于$x$微分得到的。对于更高阶的导数，可以继续同样的过程。对恒等式对$x$求导两次，得到

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,$

使用链式法则进一步简化为

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0$

用之前得到的恒等式替换一阶导数，得到

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.$

对三阶导数类似：

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$

或者用二阶导数的公式，

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}$

这些公式是由Faa di Bruno公式推广。

这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果$f$和$g$是互逆的，则

$g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}$

反函数的微分举例

• $\,y=e^{x}$ 有逆运算$\,x=\ln y$。使用反函数的二次导数公式，

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};$

于是，

${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}$,

与直接计算相同。

参见

• 微积分
• 反函数
• 链式法则
• 反函数定理
• 隐函数定理
• 反函数的积分