可交换素数

可交换素数（permutable prime）是指一个素数，在特定进制下的各位数字可以任意交换位置，其结果仍为素数。数学家 Hans-Egon Richert最早研究这类的素数，命名为可交换素数^[1]，不过这类素数也被称为绝对素数（absolute primes）^[2]。

以下是十进制下所有已知的，小于49081位数的可交换素数（OEIS数列A003459）：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, R₁₉ (1111111111111111111), R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁。

以上有些素数的的数字相同，只是位置不同，例如13和31，若这类由同一素数交换位置所得的素数只用一个作为代表，那么只有16组可交换素数：

2, 3, 5, 7, R₂, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁.

其中R_n = ${\tfrac {10^{n}-1}{9}}$ 是循环单位，是由n个1组成的（十进制）数字。循环单位的素数是可交换素数，不过也有些可交换素数的定义中包括至少有二个不同的数字，此定义下循环单位的素数就不是可交换素数^[3]。

所有超过1位数的可交换素数都是由1,3,7,9数字组成，不包括所有偶数及5，因为若有出现这些数字，这些数字在交换位置后可能会在个位数，而超过1位数的数字，若个位数为偶数或是5，一定不是素数。已有数字家证明没有任一个可交换素数中有1,3,7,9中的三个数字，也没有任一个可交换素数其中有1,3,7,9中的二个数字，且每个数字出现不止一次。

对于3 < n < 6·10¹⁷⁵的正整数n，不存在n位数且不是循环单位的可交换素数^[1]。目前猜想除了上述数字外，不存在其他的可交换素数。

在二进制中，只有循环单位才可能是可交换素数，因此若任何一位数为0，这个0交换位置到最末位时，数字是合数，不是素数。因此二进制的可交换素数即为梅森素数。此概念可以延伸到其他进位制中，一位数的素数必定是可交换素数，而超过一位数可交换素数的各位数字一定是由和进位制基数互素的数所组成。

参考资料

^ ^1.0 ^1.1 H. E. Richert, "On permutable primtall," Norsk Matematiske Tiddskrift 33 (1951), 50–54.
^ T. Bhargava & P. Doyle, "On the existence of absolute primes," Math. Mag. 47 (1974), 233.
^ Chris Caldwell, The Prime Glossary: permutable prime （页面存档备份，存于互联网档案馆） at The Prime Pages.

[Richert-1] 1.0 ^1.1 H. E. Richert, "On permutable primtall," Norsk Matematiske Tiddskrift 33 (1951), 50–54.

[2] T. Bhargava & P. Doyle, "On the existence of absolute primes," Math. Mag. 47 (1974), 233.

[3] Chris Caldwell, The Prime Glossary: permutable prime （页面存档备份，存于互联网档案馆） at The Prime Pages.

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