数学形态学

数学形态学（Mathematical morphology） 是一门建立在格论和拓扑学基础之上的图像分析学科，是数学形态学图像处理的基本理论。其基本的运算包括：腐蚀和膨胀、开运算和闭运算、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换等。

二值形态学

在二值形态学中，一个图案被看做是 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 或网格 $\mathbb {Z} ^{n}$ 的子集。

在二值结构学中，结构元素为一个二值影像，作为分析影像时使用的“探针”，代表当处理影像上的某点时、要取出周围的哪些点进行运算。^[1]

以下是几个常用的结构元素(将原图写作A、结构元素写作B)：

待处理影像为二维类比影像 $A\in E=\mathbb {R} ^{2}$ ，使用的结构元素B为一以原点为圆心、半径为r的圆盘。
待处理影像为二维类比影像 $A\in E=\mathbb {R} ^{2}$ ，使用的结构元素B为一以原点为中心的3x3方形。
待处理影像为二维类比影像 $A\in E=\mathbb {R} ^{2}$ ，使用的结构元素B为一以原点为中心的十字形，或写作 $B=\{(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)\}$ 。

二值形态学的基础运算子为具平移对称性的、与闵可夫斯基和直接相关的运算子。基础运算子包含膨胀、腐蚀，以及由前两者组合而成的开运算、闭运算。

膨胀(Dilation)的定义为“位于某个点的探针(结构元素)是否有探测到物件？”一个影像A经过结构元素B膨胀后的结果可写为：^[1]

A\oplus B=\{x|B_{x}\cap A\neq \emptyset \}

.

其中 $B_{x}=\{x+b|b\in B\}$ ，代表结构元素平移x后的点集合，b是图像B的元素的坐标。

另外也可写为：

A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{-b}

.

同上，其中 $A_{-b}$ 是指二值影像A经过平移-b后新的点集合。

腐蚀(Erosion)的定义为“位于某个点的探针(结构元素)是否全都有探测到物件？”一个影像A经过结构元素B腐蚀后的结果可写为：^[1]

A\ominus B=\{x|B_{x}\subseteq A\}=\bigcap _{b\in B}A_{-b}

.

开运算(Opening)与闭运算(Closing)是使用相同结构函数的腐蚀与膨胀的组合：

开运算为先腐蚀再膨胀，

A\circ B=(A\ominus B)\oplus B

.

闭运算为先膨胀再腐蚀

A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B

.

所有的运算子具有平移对称性（英语：Translational_symmetry）
所有的运算子都是递增的，例：如果 $A\subseteq C$ ，则 $A\oplus B\subseteq C\oplus B$ 且 $A\ominus B\subseteq C\ominus B$
膨胀具有交换律，例： $A\oplus B=B\oplus A$
膨胀具有结合律，例： $(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$ ；另外腐蚀则为 $(A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)$
如果B包含原点(0,0)，则有 $A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B$
膨胀与腐蚀间的关系为： $A\oplus B=(A^{c}\ominus B^{s})^{c}$ ，上标 $^{c}$ 代表补集，上标 $^{s}$ 代表对原点的点对称集合。
开运算与闭运算间的关系为： $A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}$
膨胀对联集有分配律，例： $A\oplus (B\cup C)=(A\oplus B)\cup (A\oplus C)$ ；腐蚀对交集有分配律，例： $A\ominus (B\cap C)=(A\ominus B)\cap (A\ominus C)$
膨胀与腐蚀为彼此的广义逆运算： $A\subseteq (C\ominus B)$ 若且为若 $(A\oplus B)\subseteq C$
开运算与闭运算是幂等的： $(A\bullet B)\bullet B=A\bullet B$