平移

本文介绍欧几里得空间中的“平移”，不是平移运动、平行移动。

在仿射几何，平移（translation）是将物件的每点向同一方向移动相同距离。

平移将物件的每一点向同一方向移动相同距离。

在针对一个轴的反射之后的针对另一个平行于前一个轴的轴的反射导致是平移的总和运动。

它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。即是说，若$\mathbf {v}$是一个已知的向量，$\mathbf {p}$是空间中一点，平移$T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$。

将同一点平移两次，结果可用一次平移表示，即$T_{\mathbf {v} }(T_{\mathbf {u} }(\mathbf {p} ))=T_{\mathbf {v} +\mathbf {u} }(\mathbf {p} )$，因此所有平移的集是一个群，称为平移群。这个群和空间同构，又是欧几里德群E(n)的正规子群。

T对E的商群与正交群O(n)同构：E(n) / T = O(n)。

矩阵表示

例如在三维空间，使用齐次坐标，$T_{\mathbf {v} }$可用矩阵表示为

$T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$。

平移的结果$T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )$就是

$T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}$。

平移的逆矩阵：$T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }$。两个平移矩阵的积就是两次平移的结果：$T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }$。因为向量加法符合交换律，所以平移群不像一般矩阵乘法，平移矩阵乘法是可交换的。

参见

• 平移运动
• 平移对称
• 变换矩阵
• 反射
• 旋转
• 反演
• 点反演
• 缩放

外部链接

• Translation Transform （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Geometric Translation (Interactive Animation) （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Math Is Fun
• Understanding 2D Translation （页面存档备份，存于互联网档案馆） and Understanding 3D Translation （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.