塞瓦定理
定理
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塞瓦线,或称为赛瓦线段是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理(英语:Ceva's theorem)指出:如果的塞瓦线段 、、 通过同一点,则
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c7/Ceva%27s_theorem_1.svg/240px-Ceva%27s_theorem_1.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Ceva%27s_theorem_2.svg/240px-Ceva%27s_theorem_2.svg.png)
它的逆定理同样成立:若、、分别在的边、、或其延长线上(都在边上或有两点在延长线上),且满足
- ,
则直线、、共点或彼此平行(于无限远处共点)。当、、中的任意两直线交于一点时,则三直线共点;当、、中的任意两直线平行时,则三直线平行。
证明
编辑- 设 h = A 到 的距离
- 的面积 =
- 的面积 =
- 的面积 / 的面积 =
由等比性质,
- 同理
在三角形 中, 的角平分线交 于 , 。
参见
编辑- ^ Russell, John Wellesley. Ch. 1 §7 Ceva's Theorem. Pure Geometry. Clarendon Press. 1905.
- ^ Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind (1996), Challenging Problems in Geometry, pages 177–180, Dover Publishing Co., second revised edition.