平分线

角平分线（英语：Angle Bisector）是几何学中的一个基本概念。它指的是从角的顶点出发，将角分成两个相等角的线段或射线。角平分线在几何问题中起着重要作用，无论是在理论证明中，还是在实际应用中，都能帮助我们理解和解决各种几何问题。

角平分线的定义

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的性质

1.角平分线把角分成两个一样角度的小角，都等于该角的一半

该性质的应用

$\because \ OM{\text{ 平分 }}\angle AOB$

$\therefore \ \angle AOM=\angle MOB$

2..角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。

即如图所示：

$OM$平分${\angle }AOB,P$为$OM$上一点$,PE{\perp }OA$于$E,PF{\perp }OB$于$F,$

则$PE=PF$。

该性质的证明

利用三角形全等，可以很容易推得此结论。

下面作一下简单推导。

${\because \quad }OM$平分${\angle }AOB,$

${\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF.$

${\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,$

${\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.$

在${\triangle }OEP$与${\triangle }OFP$中$,$

${\begin{cases}{\angle }OEP={\angle }OFP,\\{\angle }POE={\angle }POF,\\OP=OP,\end{cases}}$

${\therefore \quad \triangle }OEP{\;\cong \triangle }OFP({\mbox{AAS}}).$

${\therefore \quad }PE=PF.$

证毕。

角平分线的判定

判定

与其性质相对应的，就是角平分线的判定：

若有一点至角两边距离相等，则该点在该角的角平分线上。

即：

已知${\angle }AOB,P$为$OM$上一点$,\;PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB.$

如果$PE=PF,$那么$OM$平分${\angle }AOB.$

证明

${\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,$

${\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.$

在$\mathrm {Rt} {\triangle }OEP$与$\mathrm {Rt} {\triangle }OFP$中$,$

${\begin{cases}OP=OP,\\PE=PF,\end{cases}}$

${\therefore \quad }\mathrm {Rt} {\triangle }OEP\;{\cong }\mathrm {Rt} {\triangle }OFP(\mathrm {HL} ).$

${\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF,$

${\therefore \quad }OM$平分${\angle }AOB.$

证毕。

内心

任意三角形ABC中，${\angle }ABC$、${\angle }BCA$、${\angle }CAB$ 角平分线交于一点I，则我们称此点I为三角形ABC的内心。

三角形的内心恒在图形内部，且到三角形之三边距离等长。

参见

• 角平分线长公式
• 垂直平分线
• 中线
• 高线