外余割

外余割
性质
奇偶性	非奇非偶
定义域	$\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\}$ $\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} \right\}$
到达域	$-2\geq \operatorname {excsc} x\geq 0$
周期	$2\pi$ （360°）
特定值
当x=0	∞
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性质
渐近线	$x=k\pi$ （x=180°k）
根	${\frac {\pi }{2}}+2k\pi$ （$90^{\circ }+360^{\circ }k$）
临界点	$k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}$ （180°k-90°）
k是一个整数。

外余割（excosecant）又称余外割（coexsecant）是一种可以根据余割定义的三角函数，现很少使用。 其符号通常表示为$\operatorname {excosec} x$或$\operatorname {exc} x$。 其函数值比余割函数少1，换句话说，其与余割的关系可以用下列等式表达：

$\operatorname {excosec} x=\csc(x)-1$。

在单位圆上，外余割位于余割线上单位圆的外侧，因此称为外余割。此外，外余割也有exterior cosecant、external cosecant、outward cosecant和outer cosecant等称呼。在数学表达式中，外余割除了表示为$\operatorname {excosec} x$或$\operatorname {exc} x$之外，在不同文献中，外余割也有$\operatorname {coexsec} x$、$\operatorname {excsc} x$、$\operatorname {xcs} x$等表示方式。

外余割曾被用来描述费米子的动能。

定义

在单位圆上表示的三角函数

在单位圆上，角$\theta$的外余割可以定义为，在y轴上，从单位圆圆周沿y轴到“角$\theta$的终边与单位圆交点的切线”的长度。由于从角的顶点沿y轴到“角$\theta$的终边与单位圆交点的切线”的长度为余割，因此余割与外余割相差1，即外余割为余割扣掉单位圆半径。

外余割也可以定义为：

$\operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)$$=\csc(\theta )-1={\frac {1}{\sin(\theta )}}-1.$

历史

直到20世纪80年代，外余割函数与外正割函数都在数个有高精度计算需求的领域中有着重要的作用。由于在角度接近${\frac {\pi }{2}}$（90度）时，余割函数的值会接近于1，引此使用上述公式来计算外余割的话，会在这些角度的函数值上出现严重的灾难性抵消或数值误差。因此这时对余割函数表的精确度要求将非常高，而若定义了外余割函数，则使用外余割函数的函数表则能一定程度上的避免上述问题。但后来随着计算器和计算机的发展与广泛使用，因此外余割函数的需求已经逐渐变的不明显，因此现在只有非常少数的情况会使用到外余割函数。

外余割的术语coexsecant和coexsec早在1880年就已经有文献使用了，而自1909年开始，外余割在文献中则是使用excosecant。该函数也被阿尔伯特·爱因斯坦用来描述费米子的动能。

计算

在早期计算机不普遍的时候，外余割函数的计算若使用公式$\operatorname {excsc} (\theta )=\csc(\theta )-1$来计算的话，会在角度接近${\frac {\pi }{2}}+2\pi$（90度）及其同界角时出现严重的灾难性抵消或数值误差。因此若要更精确地计算外余割函数的话，需要使用以下等式：

$$\operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1-\sin(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\operatorname {coversin} (\theta )}{\sin(\theta )}}=\operatorname {coversin} (\theta )\csc(\theta ).$$

但在计算机不普遍的的时代，要做这些乘法运算非常耗时，因此专用于外余割函数的函数表就会变得很有用。

恒等式

导数

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}$

积分

$\int \operatorname {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C$

与其他三角函数的关系

$\operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {csc} (\theta )-\sin(\theta )-\operatorname {coversin} (\theta ).$

$\operatorname {excsc} (\theta )=2\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\csc(\theta ).\$

$\operatorname {excsc} (\theta )=\cot(\theta )\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right).$

$\operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\cos(\theta ))^{2}}}}-1.$

反外余割

外余割的反函数

反外余割（arcexcosecant）是外余割的反函数。符号通常会表示为arcexcosec、 arcexcsc、 aexcsc、 aexc、 arccoexsecant、 arccoexsec或excsc⁻¹。其定义为：

$\operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\right)$

参见

• 外正割

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 外餘割. MathWorld.