字度量

群论中，字度量是在群上的一种度量，就是一个方法去量度群中两个元素之间的距离。给出群$G$的生成集$S$，每个元素都可以用$S$写成很多个不同的字。例如设$G$是所有整数组成的群$(\mathbb {Z} ,+)$，取$S=\{\pm 1\}$，3就可以写成1+1+1，或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每个字用了多少个$S$的元素，这就是字的长度，例如1+1+1的长度是3，-1+1+1-1+1+1+1的长度是7。可以用英文字来比喻：英文字的生成集是英文字母，字的长度就是字母的数目，如colour的长度是6，color的长度是5。

两个元素$g,h\in G$的字度量$d_{S}(g,h)$定义为$g^{-1}h$以$S$表示成的最短的字的长度。

两个元素的字度量，等于凯莱图$\Gamma (G,S)$中这两个元素的距离。

例子

考虑整数群$(\mathbb {Z} ,+)$。若取生成集合$S=\{\pm 1\}$，那么两个整数$m,n$之间的字度量是$d_{S}(m,n)=\left|-m+n\right|$。

若取另一个生成集合$S'=\{\pm 2,\pm 3\}$，则$m$和$m+1$之间的字度量$d_{S'}(m,m+1)=2$，因为$-m+(m+1)$用$S'$所能表示成的最短的字（3-2或-2+3）的长度为2。

性质

从字度量的定义可以看出，群于自身的左乘作用$k\cdot g\mapsto kg$下，字度量不变：

$d_{S}(g,h)=d_{S}(kg,kh)$

（因为$(kg)^{-1}(kh)=g^{-1}h$。）

一个群$G$给出不同的生成集合，对应的字度量可以不同。不过，如果$G$是有限生成的，则两个有限的生成集合$S_{1},S_{2}$所给出的字度量是双利普希茨的，即存在常数$C>1$使得对任何$g,h\in G$都有

${\frac {1}{C}}d_{S_{1}}(g,h)\leq d_{S_{2}}(g,h)\leq Cd_{S_{1}}(g,h)$

证明如下：$S_{1}$中的各元素用$S_{2}$表示成的字，其中最长的长度设为$C_{1}$。那么每个用$S_{1}$表示成的字，都可用$S_{2}$改写成不超过$C_{1}$倍的长度的字。故此

$d_{S_{2}}(g,h)\leq C_{1}d_{S_{1}}(g,h)$

同样地，有

$d_{S_{1}}(g,h)\leq C_{2}d_{S_{2}}(g,h)$

取$C$为$C_{1}$和$C_{2}$的较大者，得出不等式。