字度量

群論中，字度量是在群上的一種度量，就是一個方法去量度群中兩個元素之間的距離。給出群$G$的生成集$S$，每個元素都可以用$S$寫成很多個不同的字。例如設$G$是所有整數組成的群$(\mathbb {Z} ,+)$，取$S=\{\pm 1\}$，3就可以寫成1+1+1，或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每個字用了多少個$S$的元素，這就是字的長度，例如1+1+1的長度是3，-1+1+1-1+1+1+1的長度是7。可以用英文字來比喻：英文字的生成集是英文字母，字的長度就是字母的數目，如colour的長度是6，color的長度是5。

兩個元素$g,h\in G$的字度量$d_{S}(g,h)$定義為$g^{-1}h$以$S$表示成的最短的字的長度。

兩個元素的字度量，等於凱萊圖$\Gamma (G,S)$中這兩個元素的距離。

例子

考慮整數群$(\mathbb {Z} ,+)$。若取生成集合$S=\{\pm 1\}$，那麼兩個整數$m,n$之間的字度量是$d_{S}(m,n)=\left|-m+n\right|$。

若取另一個生成集合$S'=\{\pm 2,\pm 3\}$，則$m$和$m+1$之間的字度量$d_{S'}(m,m+1)=2$，因為$-m+(m+1)$用$S'$所能表示成的最短的字（3-2或-2+3）的長度為2。

性質

從字度量的定義可以看出，群於自身的左乘作用$k\cdot g\mapsto kg$下，字度量不變：

$d_{S}(g,h)=d_{S}(kg,kh)$

（因為$(kg)^{-1}(kh)=g^{-1}h$。）

一個群$G$給出不同的生成集合，對應的字度量可以不同。不過，如果$G$是有限生成的，則兩個有限的生成集合$S_{1},S_{2}$所給出的字度量是雙利普希茨的，即存在常數$C>1$使得對任何$g,h\in G$都有

${\frac {1}{C}}d_{S_{1}}(g,h)\leq d_{S_{2}}(g,h)\leq Cd_{S_{1}}(g,h)$

證明如下：$S_{1}$中的各元素用$S_{2}$表示成的字，其中最長的長度設為$C_{1}$。那麼每個用$S_{1}$表示成的字，都可用$S_{2}$改寫成不超過$C_{1}$倍的長度的字。故此

$d_{S_{2}}(g,h)\leq C_{1}d_{S_{1}}(g,h)$

同樣地，有

$d_{S_{1}}(g,h)\leq C_{2}d_{S_{2}}(g,h)$

取$C$為$C_{1}$和$C_{2}$的較大者，得出不等式。