尚努埃尔引理

数学同调代数中,尚努埃尔(Schanuel)引理是一条简易的基本结果,可用来比较一个投射性有多远。

叙述

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R

0 → KPM → 0
0 → K'P ' → M → 0

是两条左R-模的短正合序列PP '是投射模,则KP '同构K ' ⊕ P

证明

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定义PP '的子模如下,其中φ : PM,φ' : P ' → M

 

定义映射 π : XP为自X投射第一个座标至P。φ' 是满射,所以对任何pX,都有qP ' 使得φ(p) = φ'(q)。故有(p,q) ∈ X,得 π (p,q) = p。因此π 是满射

考虑π 的

 

由此可知有短正合序列

 

因为P是投射的,所以序列分裂,故有XK ' ⊕ P

同理可得

 

因此XP ' ⊕ K。结合X的两等价式,结果得证。

长正合序列

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以上证明也可推广至长正合序列[1]

应用

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 M的一个投射分解,使得 是投射的,则M的每个投射分解都是如此。

证明

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 是另一个投射分解。考虑短正合序列

 
 

从尚努埃尔引理可知 ,而从假设知 是投射的,故 是投射模的直和项,因此也是投射的。

起源

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斯蒂芬·尚努埃尔在欧文·卡普兰斯基1958年秋季学期芝加哥大学的同调代数课上发现这个证法。卡普兰斯基在书上说:他在课上给出了一个模的投射分解的一步,并指出若在一个分解中这个核是投射的,则在所有分解中都是投射的,又说虽然命题简单,但须过些时候才能证。尚努埃尔回应说这容易证,于是描述了大概,就是后来以其命名的引理。他们讨论了几天后,得到了完整的证明。[2]

参考

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  1. ^ Lam, T.Y. Lectures on Modules and Rings. Springer. 1999. ISBN 0-387-98428-3.  pgs. 165–167.
  2. ^ Kaplansky, Irving. Fields and Rings. University Of Chicago Press. 1972. ISBN 0-226-42451-0.  pgs. 165–168.