常数函数

在数学中，常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数$f(x)=4$，因为$f$映射任意的值到4，因此$f$是一个常数。更一般地，对一个函数$f:A\rightarrow B$，如果对$A$内所有的$x$和$y$，都有$f(x)=f(y)$，那么，$f$是一个常数函数。其中$f(x)=0$的常数函数称为零函数，图形为x轴；值不为零的常数函数则可称为零次函数，图形为一平行x轴的水平线。

请注意，每一个空函数（定义域为空集的函数）无意义地满足上述定义，因为$A$中没有$x$和$y$使$f(x)$和$f(y)$不同。然而有些人认为，如果包括空函数的话，那么常数函数将更容易定义。

对于多项式函数，一个非零常数函数称为一个零次多项式，而零函数对应只能叫零多项式。

性质

常数函数可以通过与复合函数的关系，从两个途径进行描述。

下面这些是等价的：

1. $f:A\rightarrow B$是一个常数函数。
2. 对所有函数$g,h:C\to A,f\circ g=f\circ h$（“$\circ$”表示复合函数）。
3. $f$与其他任何函数的复合仍是一个常数函数。

上面所给的常数函数的第一个描述，是范畴论中常数态射更多一般概念的激发和定义的性质。

根据定义，一个函数的导函数度量自变量的变化与函数变化的关系。那么我们可以得到，由于常数函数的值是不变的，它的导函数是零。例如：

• 如果$f$是一个定义在某一区间、变量为实数的实数函数，那么当且仅当$f$的导函数恒为零时，$f$是常数。

对预序集合间的函数，常数函数是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如$f$的定义域是一个格，那么$f$一定是一个常数函数。

常数函数的其他性质包括：

• 任一定义域和陪域相同的常数函数是等幂的。
• 任一拓扑空间上的常数是连续的。

在一个连通集合中，当且仅当f是常数时，它是局部常数。

参见

• 代数式
• 因式分解

参考文献

• Herrlich, Horst and Strecker, George E., 范畴论（Category Theory）, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
• 常数函数（Constant function）. PlanetMath.