库拉托夫斯基闭包公理

库拉托夫斯基闭包公理可来定义一个集上的拓扑结构，它和以开集作定义拓朴结构的公理等价。

定义

拓朴空间 $(X,\operatorname {cl} )$ 是集合 $X$ 及作用在 $X$ 的幂集上的闭包算子

$\operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$。

闭包算子需符合以下条件：

1. $A\subseteq \operatorname {cl} (A)\!$
2. $\operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl} (A)\!$ (等幂性)
3. $\operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)\!$
4. $\operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing \!$

如果不要求第二个公理即幂等公理，则剩下的公理定义了预闭包算子。

等价的证明

从由闭包算子定义的拓扑空间开始。A 称为在$(X,\operatorname {cl} )$ 是闭合的，若$A=\operatorname {cl} (A)$。亦即，X 的闭集是闭包算子的不动点。

若称“开集”为其补集为闭集的集合，则所有开集会形成一个拓扑，证明如下：

1. 由公理4.可知$\varnothing \!$为闭集；由公理1.及闭包算子的闭合性可知X 为闭集。因此，X 及$\varnothing \!$（分别为$\varnothing \!$及X 的补集）为开集。
2. 令X 的子集${A_{i}},i\in \Lambda \!$（其中$\Lambda$为任意集合）皆为开集，由公理1.及闭集的定义可知$\bigcup _{i\in \Lambda }A_{i}$为开集。
3. 令X 的子集A 及B 为开集，由公理3.可知$A\cap B$为开集。

相反地，由开集定义的拓扑也可推导至由闭包算子定义的拓扑空间。令外，也可得出下列等价的定义：

两个拓扑空间之间的函数

$f:(X,\operatorname {cl} )\to (X',\operatorname {cl} ')$

称为连续的，若对所有X 的子集A'，

$f(\operatorname {cl} (A))\subset \operatorname {cl} '(f(A))$

一个点称之为在$(X,\operatorname {cl} )$内是接近A 的，若$p\in \operatorname {cl} (A)$。