庫拉托夫斯基閉包公理

庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓撲結構，它和以開集作定義拓樸結構的公理等價。

定義

拓樸空間 $(X,\operatorname {cl} )$ 是集合 $X$ 及作用在 $X$ 的冪集上的閉包算子

$\operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$。

閉包算子需符合以下條件：

1. $A\subseteq \operatorname {cl} (A)\!$
2. $\operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl} (A)\!$ (等冪性)
3. $\operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)\!$
4. $\operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing \!$

如果不要求第二個公理即冪等公理，則剩下的公理定義了預閉包算子。

等價的證明

從由閉包算子定義的拓撲空間開始。A 稱為在$(X,\operatorname {cl} )$ 是閉合的，若$A=\operatorname {cl} (A)$。亦即，X 的閉集是閉包算子的不動點。

若稱「開集」為其補集為閉集的集合，則所有開集會形成一個拓撲，證明如下：

1. 由公理4.可知$\varnothing \!$為閉集；由公理1.及閉包算子的閉合性可知X 為閉集。因此，X 及$\varnothing \!$（分別為$\varnothing \!$及X 的補集）為開集。
2. 令X 的子集${A_{i}},i\in \Lambda \!$（其中$\Lambda$為任意集合）皆為開集，由公理1.及閉集的定義可知$\bigcup _{i\in \Lambda }A_{i}$為開集。
3. 令X 的子集A 及B 為開集，由公理3.可知$A\cap B$為開集。

相反地，由開集定義的拓撲也可推導至由閉包算子定義的拓撲空間。令外，也可得出下列等價的定義：

兩個拓撲空間之間的函數

$f:(X,\operatorname {cl} )\to (X',\operatorname {cl} ')$

稱為連續的，若對所有X 的子集A'，

$f(\operatorname {cl} (A))\subset \operatorname {cl} '(f(A))$

一個點稱之為在$(X,\operatorname {cl} )$內是接近A 的，若$p\in \operatorname {cl} (A)$。