戴德金分割

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戴德金分割(英语:Dedekind cut)是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集及其中某个元素而言,将分拆为两个非空集合,使得两者其一中所有元素(按照顺序)均在之前、另一真子集中所有元素均在之后。

常见的是对于全体有理数的操作,即。对于有理数,将有理数集合分拆为两个非空集合,若满足条件:

  1. ,关系式必有且只有一个成立。
  2. ,必有,并且两者在不同时取等号时均成立。

则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割,记为。其中集合称为戴德金分割的下组,集合称为戴德金分割的上组

分类

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根据戴德金分割中  是否有最大数、最小数,可以将戴德金分割分为三种类型:

  1.  中有最大数, 中无最小数
  2.  中无最大数, 中有最小数
  3.  中无最大数, 中无最小数

可以证明,“ 中有最大数, 中有最小数”的情况并不存在。证明如下:

如果 有最大数  有最小数 ,则根据分割的定义可知  。但是   显然也是有理数,并且  ,因此   既不在   中, 也不在   中,这就与   是全体有理数矛盾。

第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种“空隙”(  之间的界数),这个“空隙”所对应的数既不属于 ,也不属于 ,因此它不是有理数,它所对应的数就是无理数,因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数

作为一个直观的理解,我们可以把上面三种分化分别看成    ,而“ 中有最大数、 中有最小数”的情况就是  ,中间的分割点d同时(不合法地)属于两边集合。

例子

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  1. 将所有小于或等于0的有理数划分为集合 ,将所有余下的有理数(即大于0的有理数)划分为集合 ,则 是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第1种情形。
  2. 将所有小于0的有理数划分为集合 ,将所有余下的有理数(即大于或等于0的有理数)划分为集合 ,则 是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第2种情形。
  3. 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数(即满足 的数)划分到集合 ,将余下的有理数(即其平方大于3的正有理数)划分到集合 ,则 是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第3种情形,此时戴德金分割 定义了无理数 

定义大小

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假设无理数 由分划 所确定,无理数 由分划 所确定,则

  1. 集合  ,则称无理数  相等,记为 
  2. 集合  ),则称无理数 大于 ,记为 

无理数小于 )的概念可由大于 )的概念定义,即 当且仅当 。如此得到实数系的大小关系,其性质有:

  1. 任意实数 ,必有且只有下列关系式之一成立: 
  2. 传递性:若实数 ,则 。对于小于 )的情形,传递性同样成立。

所以该大小关系是全序关系

参阅

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参考文献

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