戴德金分割

戴德金分割（英語：Dedekind cut）是數學中對於全序集的操作。對於給定的全序集$A$及其中某個元素$x$而言，將$A$分拆為兩個非空集合，使得兩者其一中所有元素（按照順序）均在$x$之前、另一真子集中所有元素均在$x$之後。

常見的是對於全體有理數的操作，即$A=\mathbb {Q}$。對於有理數$x$，將有理數集合分拆為兩個非空集合$A$和$A'$，若$A$和$A'$滿足條件：

1. $\forall a\in \mathbb {Q}$，關係式$a\in A$和$a\in A'$必有且只有一個成立。
2. $\forall a\in A$，$\forall a'\in A'$，必有$a<a'$，並且$a\leq x$和$x\leq a'$兩者在不同時取等號時均成立。

則稱這樣的分拆為有理數的一個戴德金分割，記為$A|A'$。其中集合$A$稱為戴德金分割的下組，集合$A'$稱為戴德金分割的上組。

分類

根據戴德金分割中$A$和$A'$是否有最大數、最小數，可以將戴德金分割分為三種類型：

1. $A$中有最大數，$A'$中無最小數
2. $A$中無最大數，$A'$中有最小數
3. $A$中無最大數，$A'$中無最小數

可以證明，「$A$中有最大數，$A'$中有最小數」的情況並不存在。證明如下：

如果$A$有最大數$a$，$A'$有最小數$b$，則根據分割的定義可知 $a<b$。但是 $(a+b)/2$ 顯然也是有理數，並且 $a<(a+b)/2<b$，因此 $(a+b)/2$ 既不在 $A$ 中, 也不在 $A'$ 中，這就與 $A\cup A'$ 是全體有理數矛盾。

第三種情況揭示了在有理數域中存在這樣的一種「空隙」（$A$和$A'$之間的界數），這個「空隙」所對應的數既不屬於$A$，也不屬於$A'$，因此它不是有理數，它所對應的數就是無理數，因此說第3種情況的戴德金分割定義了一個無理數。

作為一個直觀的理解，我們可以把上面三種分化分別看成 $(-\infty ,d]\cup (d,+\infty )$、$(-\infty ,d)\cup [d,+\infty )$ 和 $(-\infty ,d)\cup (d,+\infty )$，而「$A$中有最大數、$A'$中有最小數」的情況就是 $(-\infty ,d]\cap [d,+\infty )$，中間的分割點d同時（不合法地）屬於兩邊集合。

例子

1. 將所有小於或等於0的有理數劃分為集合$A$，將所有餘下的有理數（即大於0的有理數）劃分為集合$A'$，則$A|A'$是一個戴德金分割，並屬於上述分類中的第1種情形。
2. 將所有小於0的有理數劃分為集合$A$，將所有餘下的有理數（即大於或等於0的有理數）劃分為集合$A'$，則$A|A'$是一個戴德金分割，並屬於上述分類中的第2種情形。
3. 將所有小於或等於0、其平方小於或等於3的正有理數（即滿足$\forall a\in \mathbb {Q} ,a\leq 0,a^{2}\leq 3$的數）劃分到集合$A$，將餘下的有理數（即其平方大於3的正有理數）劃分到集合$A'$，則$A|A'$是一個戴德金分割，並屬於上述分類中的第3種情形，此時戴德金分割$A|A'$定義了無理數${\sqrt[{}]{3}}$。

定義大小

假設無理數$\alpha$由分劃$A|A'$所確定，無理數$\beta$由分劃$B|B'$所確定，則

1. 若集合$A=B$或$A'=B'$，則稱無理數$\alpha$與$\beta$相等，記為$\alpha =\beta$。
2. 若集合$A\supset B$（$A\neq B$），則稱無理數$\alpha$大於$\beta$，記為$\alpha >\beta$。

無理數小於（$<$）的概念可由大於（$>$）的概念定義，即$\beta <\alpha$當且僅當$\alpha >\beta$。如此得到實數系的大小關係，其性質有：

1. 任意實數$\alpha ,\beta$，必有且只有下列關係式之一成立：$\alpha =\beta ,\alpha >\beta ,\alpha <\beta$。
2. 傳遞性：若實數$\alpha >\beta ,\beta >\gamma$，則$\alpha >\gamma$。對於小於（$<$）的情形，傳遞性同樣成立。

所以該大小關係是全序關係。

參閱

• 無理數
• 實數的構造

參考文獻

• 菲赫金哥爾茨; 楊弢亮 譯; 葉彥謙 譯; 郭思旭 校. 微积分学教程（第一卷） 第8版. 高等教育出版社. : 5–6. ISBN 5-9221-0436-5.