一个实数系统由一个集合 , 当中的两个不同元素 0 和 1 , 上的两种二元运算 (分别叫做加法与乘法),以及 上的一个二元关系 (即序关系)构成。
而且这个模型符合以下性质:
- 是一个域。即
- (加法与乘法的结合性)
- (加法与乘法的交换性)
- (乘法对加法有分配律)
- (存在加法单位元)
- (存在乘法单位元)
- (存在加法逆元)
- (存在乘法逆元)
- 是一个全序集。即
- (自反性)
- 若 且 ,则有 (反对称性)
- 若 且, ,则有 (传递性)
- 或 (完全关系性)
- 上的两个运算 均与序关系 相容。即
- ,若 则 (加法下保持次序)
- ,若 且 ,则 (乘法下保持次序)
- 序关系 符合戴德金完备性: 若 的一个非空子集 有上界,那么 也有上确界。换言之,
- 若 是 的一个非空子集,而且 有上界,那么 有一上确界 ,使得对 的任何上界 ,均有
有理数域 符合前三条公理,也就是说 是一个有序域(同时 还满足阿基米德性,所以 是一个阿基米德有序域),但 不符合最后一条公理。所以戴德金完备性这一点在实数的定义中是不可或缺的。戴德金完备性蕴含了阿基米德性质。若有两个模型符合公理1-4的话,它们必然是同构的,所以在同构意义下只有一个戴德金完备的阿基米德有序域。
附注:当我们说符合以上公理的两个模型: 和 是同构时,即是指存在一个保持运算和序的双射。
确切地说存在 满足
- 是一个双射
- 及 .
- 及
- 当且仅当
另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供,只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念:一个称之为实数集的集合(记作 )、一个称之为序的二元关系(记作 )、一个称之为加法的二元运算(记作 )和常数 。
序相关公理 :
- 公理一:如果 成立,那么 不成立,即“ ”为非对称关系。
- 公理二:如果 成立,那么存在 使得 与 同时成立,即“ ”在实数集稠密。
- 公理三:“ ”满足戴德金完备性,即对所有 ,如果对所有 以及 均满足 ,那么存在 使得对所有 以及 并且有 以及 ,总有 与 成立。
加法相关公理 :
- 公理四: 。
- 公理五:对所有 与 ,总存在 满足 。
- 公理六:如果 成立,那么 或 成立。
常数 相关公理
- 公理七: ;
- 公理八: 。
首先我们需要一个定义。设 是一个有理数列,如果对于任何正有理数 ,存在一个正整数 使得对于所有的整数 ,都有 ,则称 为有理数的柯西序列。
有理数集 配备上度量 (即一般的绝对值)后便是一个度量空间。而透过一个叫作完备化的过程,可以往度量空间加进新点,从而使得度量空间中的所有柯西序列都收敛到某点。
以下说明实数集 可定义为 对于度量 的完备化。(关于 在其他度量下的完备化,参见p进数。)
记 为由有理数的柯西序列组成的集合。定义两个柯西序列的加法和乘法为:
-
-
运算得到的序列依然会是柯西序列[1]。
称两个柯西序列是等价的,如果它们之间的差收敛到0。这样便在 上定义了一个等价关系。以 表示包含序列 的等价类。
设 为包含所有等价类的集合,然后也在 上定义加法和乘法:
-
-
同样地,这两个运算是良好定义的。
可以证明 是一个域。我们可以把 嵌入到 ——只要把有理数 对应于 便可。
实数大小的比较也是透过在柯西序列上的定义而达成的:
称一个实数是正的,即 ,当且仅当存在自然数 和正有理数 ,使得对一切 有 。称 当且仅当 。
较难推导的是 的完备性,具体可以参考[1]。
常用的小数记法可以自然地理解为柯西序列,比如说, 的记法意味着 是柯西序列 的等价类。等式 则断定了序列 和 是等价的,即它们之间的差收敛到 。
把 作为 的完备化有一个好处,那就是这种方法并不限于此例;对于其他度量空间也是适用的。
实数可定义为有理数集上的戴德金分割,即是有理数集的一个划分 ,其中 都非空,而且A的每个元素都小于B的任意元素。为方便起见,不妨把划分 以其下组 来代表,因为给定了 就唯一确定了 。所以直观上,实数 能被 所代表。
具体而言,一个实数 是 的符合以下条件的一个子集:[2]
- 是非空集合
-
- 是向下封闭的,即:
- 没有最大元。也就是说,不存在 ,使得对任何 有
- 记 为所有实数的集合,也就是说它包含了所有 上的戴德金分割。然后在 上定义这样一个全序:
- 有理数可以嵌入到 里,透过把 对应于集合 。[2] 因为有理数在有理数集内是稠密的,所以这个集合没有最大元,并满足上述的各条件。
- 加法: [2]
- 减法: ,其中 代表 在 里的补集,即
- 负号是减法的特例:
- 乘法的定义较不直观:[2]
- 若 ,那么
- 若 和 中有一个是负的,可以透过 这定义式,把 , 转化为正数的情况,再采用上面的定义来计算。
- 类似地定义除法为:
- 若 ,则
- 若 和 中有一个是负的,可以借助 的定义式,把 换成非负数,以及把 换成正数,再采用上面的定义来计算。
- 上确界:如果 的非空子集 有上界的话,那么可以证明 便是其上确界。[2]
以下示范如何以戴德金分割代表根号2:设 。[3]
首先,对于任何自乘小于2的正有理数 ,都存在一个大于x的有理数 ,而且有 。选择 便可。所以我们证明了 是一个实数。
要证明 成立,只需指出如果 是小于2的有理数,那么存在正的 ,且 。
这种方法的好处是每个实数都对应于唯一的分割。
西蒙·斯蒂文[4] 首先提出了以小数来代表一切数(即现今的实数)的想法。具体地,可以将无限小数展开式作为实数的定义,然后规定像0.9999... 和1.0000... 这样的两种展开式是等价的,再形式化地定义好四则运算和大小次序。这种方法跟柯西序列和戴德金分割这两种构造是等价的,而且它还给出了明确的收敛模。这种方法不限于十进制,其他的进位制也是适用的。
用小数来构造的好处是,这跟我们对于实数的基本印象相符。一个证明“完全有序域的所有模型都同构”的标准做法便是,说明任意模型都同构于这个模型,因为我们可以系统地给每个元素建立小数展开式。
首先,透过超滤子从有理数构造出超有理数域*Q 。此处的超有理数之定义为两个超整数的比。考虑由*Q里所有有界(或者说有限)元素所组成的环B。 B 有着唯一的极大理想 I,即无穷小量。商环 B/I 给出了实数域 。 注意B 并不是*Q的一个内在集合。
此外,这种构造在自然数集上使用了非主超滤子,而其存在性是依赖于选择公理的。
这个极大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完备性的证明跟柯西序列一节中的论证类同。
每个有序域都可以嵌入到超现实数系统内。而实数组成了一个符合阿基米德性质的极大子域(意味着没有实数是无穷大量)。这种嵌入方式并不是唯一的,尽管有标准的一种方式。
一个较不为人知的构造方法只需用到整数的加法群。[5][6][7] 这种方法已由IsarMathLib project正式验证了。[8] Shenitzer[9]和Arthan将此构造称为欧多克索斯实数。
设 为一函数,若然 是有限集,则称f为殆同态。称两个殆同态 是 几乎相等的,如果集合 是有限集。如此便在殆同态上定义了一等价关系。实数被定义为各个等价类,可简单记为[f]。实数的加法,对应于殆同态的加法运算;实数的乘法,则对应于殆同态的复合运算。最后,称 ,若 是有界的,或者 在 上无限多次取正值。这样便在实数上建立了全序。