内射对象与投射对象

在同调代数中，内射对象与投射对象是内射模与投射模在阿贝尔范畴中的推广，二者的定义相对偶。以下固定一个阿贝尔范畴 ${\mathcal {C}}$ 。

• 若对象 $P$ 使得函子 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(P,-)$ 为正合函子，则称 $P$ 为投射对象。
• 若对象 $I$ 使得函子 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,I)$ 为正合函子，则称 $I$ 为内射对象。

若对每个对象 $X$ 都存在投射对象 $P$ 及满射 $P\to X$，则称 ${\mathcal {C}}$ 有充足投射元。若对每个对象 $X$ 都存在内射对象 $I$ 及单射 $X\to I$，则称 ${\mathcal {C}}$ 有充足内射元。对于有充足投射元（或内射元）的阿贝尔范畴，可以考虑对象的投射分解（或内射分解）。