范畴论中,正合函子(或译作恰当函子)是保存有限极限函子。在阿贝尔范畴中,这就相当于保存正合序列的函子。

阿贝尔范畴间的正合函子

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 阿贝尔范畴  为加法函子。若对每个正合序列

 

  后得到的序列

 

仍为正合序列,则称  正合函子

由于正合序列总能拆解为短正合序列,在定义中仅须考虑短正合序列即可。

此外,若对每个短正合序列  ,其像截去尾端零对象后   为正合序列,则称  左正合函子;类似地,若   为正合序列,则称  右正合函子。正合性等价于左正合性+右正合性。

一般范畴中的正合函子

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考虑一个函子  

  •  里存在任意的有限射影极限,且 与有限射影极限交换(即: ),则称 左正合
  •  里存在任意的有限归纳极限,且 与有限归纳极限交换(即: ),则称 右正合
  • 若上述条件同时被满足,则称 正合

阿贝尔范畴中,由于任意有限射影(或归纳)极限可以由核(或上核)与有限积(或上积)生成,此时的定义遂回归到正合序列的定义。

例子

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  • 根据极限的泛性质, 函子无论对哪个变数都是左正合的,这是左正合函子的基本例子。
  •  是一对伴随函子。若 存在任意有限归纳极限,则 右正合;若存在任意有限射影极限, 左正合。此法可建立许多函子的正合性。
  •  拓扑空间阿贝尔群数学范畴上的整体截面函子   是左正合函子。
  •    为右  -模,则左  -模范畴上的张量积函子   是右正合函子。
  •   为两个阿贝尔范畴,考虑函子范畴  ,固定一对象  ,对   的“求值”是正合函子。

文献

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  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490