令(q1, …, qn, p1, …, pn)为相空间中的正则坐标，且每一个坐标都可表示为两个变量u与v的函数，则u和v的拉格朗日括号为：
![{\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05cf21cdb0f56601481458108913aab286f8349)
- 拉格朗日括号与特定的正则坐标无关(q, p)。如取另一组正则坐标(Q,P) = (Q1, …, Qn, P1, …, Pn)，满足正则变换
此时拉格朗日括号不变，即
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f295f9525b8f8d7f77db0e699e27949c245e69b4)
因而通常情况下会省略下标。
- 如果2n维相空间W上有辛形式Ω，u1,…,u2n是W上的一个坐标系，那么正则坐标(q,p)可表示为u的函数，而拉格朗日括号所组成的矩阵
![{\displaystyle [u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d318870736b9e6f792068eb0bc938658ca24815)
表示在]Ω在坐标系u下的分量，可看作一个张量。这个矩阵是由泊松括号所组成的矩阵
的逆矩阵。
- 由上述性质可以得到，相空间上的坐标(Q1, …, Qn, P1, …, Pn)是正则的，当且仅当它们之间的拉格朗日括号有如下形式：
![{\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb6a6f9cf25ec9d855845b153d7b81c97394963)
- Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
- Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277. MR1659212
