正则变换

在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在哈密顿力学里，正则变换（canonical transformation）是一种正则坐标的改变，$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换是哈密顿-亚可比方程与刘维尔定理的基础。

定义

点变换（point transformation）将广义坐标$\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})$变换成广义坐标$\mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})$，点变换方程的形式为

$q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$；

其中，$t$是时间。

在哈密顿力学里，由于广义坐标与广义动量$\mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})$同样地都是自变量（independent variable），点变换的定义可以加以延伸，使变换方程成为

$q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$，

$p_{i}=p_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$；

其中，$\mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})$是新的广义动量。

为了分辨这两种不同的点变换，称前一种点变换为位形空间点变换，而后一种为相空间点变换。

在哈密顿力学里，正则变换将一组正则坐标$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$变换为一组新的正则坐标$(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$，而同时维持哈密顿方程的形式（称为形式不变性）。原本的哈密顿方程为

${\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}$，

${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}$；

新的哈密顿方程为

${\dot {\mathbf {Q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}$，

${\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}$；

其中，${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$、${\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$分别为原本的哈密顿量与新的哈密顿量。

实际用处

思考一个物理系统的哈密顿量

${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$。

假设哈密顿量跟其中一个广义坐标$q_{i}$无关，则称$q_{i}$为可略坐标（ignorable coordinate），或循环坐标（cyclic coordinate）：

${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0$。

在哈密顿方程中，广义动量对于时间的导数是

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0$。

所以，广义动量$p_{i}$是常数$k_{i}$。

假设一个系统里有$n$个广义坐标是可略坐标。找出这$n$个可略坐标，则可以使这系统减少$2n$个变数；使问题的困难度减少很多。正则变换可以用来寻找这一组可略坐标。

生成函数方法

主项目：正则变换生成函数

采取一种间接的方法，称为生成函数方法，从$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ {\mathcal {H}})$变换到$(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ {\mathcal {K}})$。为了要保证正则变换的正确性，第二组变数必须跟第一组变数一样地遵守哈密顿原理

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]dt=0$、

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\right]dt=0$。

那么，必须令

$\sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)+{\frac {dG}{dt}}$；

其中，$\sigma$是标度因子，$G$是生成函数。

假若一个变换涉及标度因子，则称此变换为标度变换（scale transformation）。一般而言，标度因子不一定等于1。假若标度因子不等于1，则称此正则变换为延伸正则变换（extended canonical transformation）；假若标度因子等于1，则称为正则变换。

任何延伸正则变换都可以修改为正则变换。假设一个$\sigma \neq 1$的延伸正则变换表示为

$\sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}\right]=\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}}$。

则可以设定另外一组变数与哈密顿量： $\mathbf {Q} =\alpha \mathbf {Q} '$、 $\mathbf {P} =\beta \mathbf {P} '$、 ${\mathcal {K}}=\alpha \beta {\mathcal {K}}\,'$、 $G=\alpha \beta G\,'$；其中，$\alpha ,\ \beta$是用来删除$\sigma$的常数，$\sigma ={\frac {1}{\alpha \beta }}$。经过一番运算，可以得到

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}=\alpha {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {P} '}}=\alpha {\dot {\mathbf {Q} }}'={\dot {\mathbf {Q} }}$、

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=\beta {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {Q} '}}=-\beta {\dot {\mathbf {P} }}'=-{\dot {\mathbf {P} }}$、

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\alpha \beta (\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}})=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}$。（1）

显然地，这变换符合哈密顿方程。所以，任何延伸正则变换都可以改变为正则变换。

假若正则变换不显性含时间，则称为设限正则变换（restricted canonical transformation）。

生成函数$G$的参数，除了时间以外，一半是旧的正则坐标；另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定，一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种变换，从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$保证是正则变换。

第一型生成函数

第一型生成函数$G_{1}$只跟旧广义坐标、新广义坐标有关，

$G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$。

代入方程（1）。展开生成函数对于时间的全导数，

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$。

新广义坐标$\mathbf {Q}$和旧广义坐标$\mathbf {q}$都是自变量，其对于时间的全导数${\dot {\mathbf {Q} }}$和${\dot {\mathbf {q} }}$互相无关，所以，以下$2N+1$个方程都必须成立：

$\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}$，（2）

$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}$，（3）

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}$。（4）

这$2N+1$个方程设定了变换$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$，步骤如下：

第一组的$N$个方程（2），设定了$\mathbf {p}$的$N$个函数方程

$\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$。

在理想情况下，这些方程可以逆算出$\mathbf {Q}$的$N$个函数方程

$\mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$。（5）

第二组的$N$个方程（3），设定了$\mathbf {P}$的$N$个函数方程

$\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$。

代入函数方程（5），可以算出$\mathbf {P}$的$N$个函数方程

$\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$。（6）

从$2N$个函数方程（5）、（6），可以逆算出$2N$个函数方程

$\mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$，

$\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$。

代入新哈密顿量${\mathcal {K}}$的方程（4），可以得到

${\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$。

第二型生成函数

第二型生成函数$G_{2}$的参数是旧广义坐标$\mathbf {q}$、新广义动量$\mathbf {P}$ 与时间：

$G=-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$；

以下$2N+1$方程设定了变换$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$：

$\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}$，　

$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}$，

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}$。

第三型生成函数

第三型生成函数$G_{3}$ 的参数是旧广义动量$\mathbf {p}$、新广义坐标$\mathbf {Q}$与时间：

$G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$。

以下$2N+1$方程设定了变换$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$：

$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}$，

$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}$，

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}$。

第四型生成函数

第四型生成函数$G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$的参数是旧广义动量$\mathbf {p}$、新广义动量$\mathbf {P}$与时间：

$G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$。

以下$2N+1$方程设定了变换$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$：

$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}$，

$\mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}$，

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}$。

实例1

第一型生成函数有一个特别简易案例：

$G_{1}=\mathbf {q} \cdot \mathbf {Q}$。

生成函数的导数分别为

$\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q}$，

$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q}$。

旧的哈密顿量与新的哈密顿量相同：

${\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$。

实例2

再举一个比较复杂的例子。让

$G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)\cdot \mathbf {P}$；

这里，$\mathbf {g}$是一组$N$个函数。

答案是一个广义坐标的点变换，

$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)$。

不变量

正则变换必须满足哈密顿方程不变；哈密顿方程为正则变换的一个不变式。另外，正则变换也有几个重要的不变量。

辛条件

辛标记提供了一种既简单，又有效率的标记方法来展示方程及数学运算。设定一个$2N\times 1$的竖矩阵${\boldsymbol {\xi }}$ :

${\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]$。

变数向量${\boldsymbol {\xi }}$将$\mathbf {q}$与$\mathbf {p}$包装在一起。这样，哈密顿方程可以简易的表示为

${\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$；

这里，${\boldsymbol {\Omega }}$是辛连结矩阵、${\mathcal {H}}$是哈密顿量。

应用辛标记于正则变换，正则坐标会从旧正则坐标${\boldsymbol {\xi }}$改变成新正则坐标${\boldsymbol {\Xi }}$，${\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}$；哈密顿量也从旧的哈密顿量${\mathcal {H}}$改变成新的哈密顿量${\mathcal {K}}$，${\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}$；但是，哈密顿方程的形式仍旧维持不变：

${\dot {\boldsymbol {\Xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}$；

这里，${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {dG}{dt}}+\mathbf {P} {\dot {\mathbf {Q} }}-\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}$。

用第一型生成函数$G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$，则${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}$。

取${\boldsymbol {\Xi }}={\boldsymbol {\Xi }}({\boldsymbol {\xi }},\ t)$关于时间$t$的导数，

${\dot {\boldsymbol {\Xi }}}=\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}$；

这里，$\mathbf {M}$是亚可比矩阵，$M_{ij}={\frac {\partial \Xi _{i}}{\partial \xi _{j}}}$。

代入哈密顿方程，

$\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}+{\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}\ \partial t}}$ ;

假若限制正则变换为设限正则变换，也就是说，显性地不含时间，解答会简单许多。假若正则变换显性地含时间，则仍旧能得到与下述同样的答案，这是一个很好的偏导数习题。现在，限制这正则变换为设限正则变换，则简化后的方程为

$\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}$。

而${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {\xi }})$，所以，

${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=-(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}{\dot {\boldsymbol {\xi }}}$。

代回前一个方程，取${\dot {\boldsymbol {\xi }}}$的系数，则可以得到

$\mathbf {M} =-{\boldsymbol {\Omega }}(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}$。

经过一番运算，

$\mathbf {M} ^{T}=-{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}{\boldsymbol {\Omega }}$；

$\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}$；

可以求出辛条件：

$\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}$。

在这里，得到了正则变换的辛条件：一个变换是正则变换，当且仅当辛条件成立。

基本泊松括号不变量

在相空间里，两个函数$f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$关于正则坐标$\mathbf {q} ,\ \mathbf {p}$的泊松括号定义为

${\big [}f,\ g{\big ]}_{(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)$。

用辛标记，

${\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$。

立刻，可以得到下述关系：

${\big [}q_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\big [}p_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=0$，

${\big [}q_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=-{\big [}p_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\delta _{ij}$。

定义基本泊松括号${\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}$为一个方矩阵，其中，元素$ij$的值是${\big [}\xi _{i},\ \xi _{j}{\big ]}$。那么，

${\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}$。

思考一个变换${\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}$。新坐标的基本泊松括号为

${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$。

这两个正则坐标的亚可比矩阵$M$是

$M={\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$。

代入前一个方程，则

${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M}$。

假若这变换是正则变换，辛条件$\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}$必须成立，

${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}$。

相反地，假若${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}$，则辛条件成立，这变换是正则变换。

所以，一个变换是正则变换，当且仅当基本泊松括号关于任何正则坐标的值不变。当表示基本泊松括号时，我们可以忽略下标符号，直接表示为${\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}$，而认定这基本泊松括号是关于正则坐标计算的值。

泊松括号不变量

思考两个函数$f,\ g$对于正则坐标${\boldsymbol {\xi }}$的泊松括号

${\begin{aligned}{\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}M^{T}{\boldsymbol {\Omega }}M{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\ \ _{\circ }\\\end{aligned}}$

假若这变换是正则变换，辛条件$\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}$必须成立，

${\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\Xi }}$。

所以，任何两个函数关于正则坐标的泊松括号，都是正则变换的不变量。当表示泊松括号时，可以忽略下标符号，直接表示为${\big [}f,\ g{\big ]}$，而认定这泊松括号是关于正则坐标计算的值。

参阅

• 正则变换列表
• 正则坐标
• 泊松括号
• 辛矩阵
• 辛拓扑
• 辛群

参考文献

• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).