拟凸函数（Quasiconvex function）是一类定义在实向量空间的区间或凸子集上的实值函数，且满足对任意实数 a {\displaystyle a} ， ( − ∞ , a ) {\displaystyle (-\infty ,a)} 的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，则称为拟凹函数。
凸函数一定是拟凸函数，但反之则不然，因此拟凸函数是一个更广泛的概念。凹函数的情况也类似。
设函数 f : S → R {\displaystyle f:S\to \mathbb {R} } 定义在实向量空间的凸子集 S {\displaystyle S} 上。我们称 f {\displaystyle f} 是拟凸的，如果对任意的 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} 和 λ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda \in [0,1]} 都有
另一种等价的定义则是任何的 S α ( f ) = { x ∣ f ( x ) ≤ α } {\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}} 都是凸集。
如果有 f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) < max { f ( x ) , f ( y ) } {\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}} ，则称 f {\displaystyle f} 是严格拟凸的。
类似地，可以定义拟凹函数和严格拟凹函数。我们称 f {\displaystyle f} 是拟凹的，如果对任意的 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} 和 λ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda \in [0,1]} 都有
如果有 f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) > min { f ( x ) , f ( y ) } {\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}} ，则称 f {\displaystyle f} 是严格拟凹的。
如果一个函数既是拟凸的又是拟凹的，则称其为拟线性的。
定义在实向量空间的凸子集
上。我们称
是拟凸的，如果对任意的
和![{\displaystyle \lambda \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010c0ee88963a09590dd07393d288edd83786b91)
都有
。
都是凸集。
，则称 是严格拟凸的。
是拟凹的，如果对任意的 和 都有
。
，则称 是严格拟凹的。
