擬凸函數（Quasiconvex function）是一類定義在實向量空間的區間或凸子集上的實值函數，且滿足對任意實數 a {\displaystyle a} ， ( − ∞ , a ) {\displaystyle (-\infty ,a)} 的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，則稱為擬凹函數。
凸函數一定是擬凸函數，但反之則不然，因此擬凸函數是一個更廣泛的概念。凹函數的情況也類似。
設函數 f : S → R {\displaystyle f:S\to \mathbb {R} } 定義在實向量空間的凸子集 S {\displaystyle S} 上。我們稱 f {\displaystyle f} 是擬凸的，如果對任意的 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} 和 λ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda \in [0,1]} 都有
另一種等價的定義則是任何的 S α ( f ) = { x ∣ f ( x ) ≤ α } {\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}} 都是凸集。
如果有 f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) < max { f ( x ) , f ( y ) } {\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}} ，則稱 f {\displaystyle f} 是嚴格擬凸的。
類似地，可以定義擬凹函數和嚴格擬凹函數。我們稱 f {\displaystyle f} 是擬凹的，如果對任意的 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} 和 λ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda \in [0,1]} 都有
如果有 f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) > min { f ( x ) , f ( y ) } {\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}} ，則稱 f {\displaystyle f} 是嚴格擬凹的。
如果一個函數既是擬凸的又是擬凹的，則稱其為擬線性的。
定義在實向量空間的凸子集
上。我們稱
是擬凸的，如果對任意的
和![{\displaystyle \lambda \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010c0ee88963a09590dd07393d288edd83786b91)
都有
。
都是凸集。
，則稱 是嚴格擬凸的。
是擬凹的，如果對任意的 和 都有
。
，則稱 是嚴格擬凹的。
