斜方星形二十面体

在几何学中，斜方星形二十面体（Rhombicosacron）是一种所有面皆全等的非凸多面体，由60个反平行四边形组成，其索引为DU₅₆，其对偶多面体是一种均匀多面体，由30个正方形和20个正六边形组成，称为斜方二十面体。

斜方星形二十面体

类别	均匀多面体对偶 星形多面体
对偶多面体	斜方二十面体
识别
名称	斜方星形二十面体
参考索引	DU56
性质
面	60
边	120
顶点	50
欧拉特征数	F=60, E=120, V=50 （χ=-10）
组成与布局
面的种类	60个反平行四边形
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
特性
等面、非凸
图像
斜方二十面体 （对偶多面体）

约克约克（YokYok）所设计的装置艺术《钴玛芬》（Cobalt Muffin）的外型就是基于斜方星形二十面体设计的，曾于上海愚园路展出。

性质

斜方星形二十面体由60个面、120条边和50个顶点组成，因此是一种六十面体。其欧拉示性数为−10，亏格为6。 组成斜方星形二十面体的60个面皆为全等的反平行四边形。 其120条边中，有60条来自反平行四边形的交叉边、60条来自反平行四边形外侧的腰，也就是说，在斜方星形二十面体中，长边（反平行四边形的交叉边）与短边（反平行四边形外侧的腰）各有60条。

二面角

斜方星形二十面体的二面角为：

$\cos ^{-1}(-{\frac {5}{7}})\approx 2.366399\approx 135.58469^{\circ }$

顶点座标

如果斜方星形二十面体的几何中心位于原点且其对偶边长为1单位长，则其顶点座标为：

$(0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})$、

$(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})$、

$(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},0)$、

$(0,0,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{5}})$、

$(\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{5}},0,0)$、

$(0,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{5}},0)$、

$(\pm {\frac {3\left(5-{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{10}},\pm {\frac {3\left(5+{\sqrt {5}}\right)}{20}})$、

$(\pm {\frac {3\left(5+{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3\left(5-{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{10}})$、

$(\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{10}},\pm {\frac {3\left(5+{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3\left(5-{\sqrt {5}}\right)}{20}})$、

$(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$。

面的组成

斜方星形二十面体由60个全等的反平行四边形组成，每个反平行四边形有四个角，其中两个锐角为$\arccos({\frac {3}{4}})\approx 41.409\,622\,109\,27^{\circ }$，两个钝角为$\arccos(-{\frac {1}{6}})\approx 99.594\,068\,226\,86^{\circ }$，交叉边的交角为$\arccos({\frac {1}{8}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{24}})\approx 38.996\,309\,663\,87^{\circ }$。在整个立体中，长边（反平行四边形的交叉边）与短边（反平行四边形外侧的腰）各有60条。长边和短边的比为${\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}$，恰好是黄金比例的平方。

斜方星形二十面体的面有跟其他的面相交的性质，其互相相交的部分恰好位于反平行四边形自相交的交点处。

• 
  斜方星形二十面体的其中三个面，分别以红色、蓝色和绿色表示
• 
  斜方星形二十面体之面的形状

艺术创作

约克约克（YokYok）的装置艺术《钴玛芬》（Cobalt Muffin）是一个以斜方星形二十面体为外型设计的装置艺术。其由CREATER委托约克约克设计。其设计是斜方星形二十面体的一半，由60个三角形组成。这是约克约克在中国的展示的第一个装置项目。《钴玛芬》从2019年10月1日至2020年7月1日在上海愚园路展出。

参见

• 斜方二十面体

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 斜方星形二十面體. MathWorld.