均匀多面体对偶

均匀多面体对偶或称均匀对偶对偶均匀多面体(Dual uniform polyhedron)是均匀多面体对偶多面体[1] 均匀多面体是一种点可递的立体,由于对偶的特性,因此均匀多面体对偶皆为面可递的立体。[2]均匀多面体对偶可以利用多曼·卢克构造均匀多面体构造。[3]

均匀多面体对偶
部分的均匀多面体对偶
菱形十二面体
菱形十二面体
卡塔兰立体
大菱形三十面体
大菱形三十面体
五方偏方面体
五方偏方面体
偏方面体
正八面体 (柏拉图立体) 双四角锥
正八面体
柏拉图立体
双四角锥
双锥体

种类

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均匀多面体对偶是均匀多面体的对偶多面体,因此每一个均匀多面体都有一个对应的均匀多面体对偶。[1]

温尼尔英语Magnus J. Wenninger在其著作《对偶模型》(Dual Models)描述了所有的均匀多面体对偶以及建构其模型的说明。

多曼·卢克构造

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均匀多面体的对偶多面体可以使用多曼·卢克构造(Dorman Luke construction)来构造。其构造的方法为:对偶多面体的每个面通过使用多曼·卢克构造的方法从原始多面体对应的顶点图导出。[9][10]

举例来说,截半立方体对偶多面体菱形十二面体[11]。要从截半立方体构造其对偶多面体时,其顶点图(在下图以红色显示)可以用来导出对偶多面体菱形十二面体的对应面(在下图以蓝色显示)。

 

多曼·卢克构造的具体步骤如下:

  1. 在任一顶角周围上选择点ABCD,并令这四个点与顶角的顶点V满足VA = VB = VC = VD。(此例使用中点)
  2. 绘制其顶点图ABCD
  3. 绘制ABCD外接圆
  4. 分别作过ABCDABCD的外接圆相切切线
  5. 将切线两两相交的交点标记为EFGH

线段EFFGGHHE已绘制为切线的一部分。多边形EFGH即为原始顶点V对应在对偶多面体上的面。

此例选择的顶点图的大小恰好让其外接圆位于截半立方体中分球上,而截半立方体中分球同时也成为以此构造方式构造出的菱形十二面体之中分球。多曼·卢克构造只有在存在中分球的多面体上才能使用。[12]例如,均匀多面体一般都存在中分球,因此可以应用于均匀多面体对偶的构造上。

列表

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名称 图像 种类 面数 边数 顶点数 对称性 对偶多面体
正四面体   柏拉图立体 4 6 4 Td, A3, [3,3], (*332)  
正四面体
(自身对偶)
立方体   柏拉图立体 6 12 8 Oh, B3, [4,3], (*432)  
正八面体
正八面体   柏拉图立体 8 12 6 Oh, BC3, [4,3], (*432)  
立方体
正十二面体   柏拉图立体 12 30 20 Ih, H3, [5,3], (*532)  
正二十面体
正二十面体   柏拉图立体 20 30 12 Ih, H3, [5,3], (*532)  
正十二面体
小星形十二面体   开普勒-庞索立体 12 30 12 Ih英语Icosahedral symmetry, H3, [5,3], (*532)  
大十二面体
大十二面体   开普勒-庞索立体 12 30 12 Ih英语Icosahedral symmetry, H3, [5,3], (*532)  
小星形十二面体
大星形十二面体   开普勒-庞索立体 12 30 20 Ih英语Icosahedral symmetry, H3, [5,3], (*532)  
大二十面体
大二十面体   开普勒-庞索立体 20 30 12 Ih英语Icosahedral symmetry, H3, [5,3], (*532)  
大星形十二面体
三角化四面体   卡塔兰立体 12 18 8 Td, A3, [3,3], *332  
截角四面体
菱形十二面体   卡塔兰立体 12 24 14 Oh, B3, [4,3], (*432)  
截半立方体
三角化八面体   卡塔兰立体 24 36 14 Oh, B3, [4,3], (*432)  
截角立方体
四角化立方体   卡塔兰立体 24 36 14 Oh, B3, [4,3], (*432)  
截角八面体
鸢形二十四面体   卡塔兰立体 24 48 26 Oh, BC3, [4,3], (*432)  
小斜方截半立方体
四角化菱形十二面体   卡塔兰立体 48 72 26 Oh, B3, [4,3], (*432)  
大斜方截半立方体
五角二十四面体   卡塔兰立体 24 60 38 Oh, ½BC3, [4,3], (*432)  
扭棱立方体
菱形三十面体   卡塔兰立体 30 60 32 Ih, H3, [5,3], (*532)  
截半二十面体
三角化二十面体   卡塔兰立体 60 90 32 Ih, H3, [5,3], (*532)  
截角十二面体
五角化十二面体   卡塔兰立体 60 90 32 Ih, H3, [5,3], (*532)  
截角二十面体
鸢形六十面体   卡塔兰立体 60 120 62 Ih, H3, [5,3], (*532)  
小斜方截半二十面体
四角化菱形三十面体   卡塔兰立体 120 180 62 Ih, H3, [5,3], (*532)  
大斜方截半二十面体
五角六十面体   卡塔兰立体 60 150 92 Ih, H3, [5,3], (*532)  
扭棱十二面体
四面半无穷星形六面体   无穷星形多面体 6 12 7 Td, [3,3], (*332)  
四面半六面体
立方半无穷星形八面体   无穷星形多面体 12 24 10 Oh, [4,3], (*432)  
立方半八面体
立方半无穷星形八面体   无穷星形多面体 12 24 12 Oh, [4,3], (*432)  
八面半八面体
反平行四边形二十四面体   星形多面体 24 48 18 Oh, [4,3], (*432)  
大斜方立方体
大六角二十四面体   星形多面体 24 48 20 Oh, [4,3], (*432)  
大立方截半立方体
大鸢形二十四面体   星形多面体 24 48 26 Oh, [4,3], (*432)  
非凸大斜方截半立方体
小反平行四边形二十四面体   星形多面体 24 48 18 Oh, [4,3], (*432)  
小斜方立方体
小六角星化二十四面体英语Small hexacronic icositetrahedron   星形多面体 24 48 20 Oh, [4,3], (*432)  
小立方立方八面体
大三角化八面体   星形多面体 24 36 14 Oh, [4,3], (*432)  
星形截角立方体
大六角化八面体英语Great disdyakis dodecahedron   星形多面体 48 72 26 Oh, [4,3], (*432)  
星形截角截半立方体
四重二方六面体维基数据所列Q18048480   星形多面体 48 72 20 Oh, [4,3], (*432)  
立方截角立方八面体
小星形五角化十二面体   星形多面体 60 90 24 Ih, [5,3], (*532)  
截角大十二面体
大十二角星化六十面体英语Great dodecacronic hexecontahedron   星形多面体 60 120 44 Ih, [5,3], (*532)  
大十二面截半二十面体
大凧形六十面体英语Great deltoidal hexecontahedron   星形多面体 60 120 62 Ih, [5,3], (*532)  
非凸大斜方截半二十面体
大菱形十二面六十面体英语Great rhombidodecacron   星形多面体 60 120 42 Ih, [5,3], (*532)  
大斜方十二面体
中鸢形六十面体英语Medial deltoidal hexecontahedron   星形多面体 60 120 54 Ih, [5,3], (*532)  
斜方截半大十二面体
内侧二十角星化六十面体英语Medial icosacronic hexecontahedron   星形多面体 60 120 44 Ih, [5,3], (*532)  
二十面化截半大十二面体
斜方星形二十面体   星形多面体 60 120 50 Ih, [5,3], (*532)  
斜方二十面体
小六角六十面体英语Small hexagonal hexecontahedron   星形多面体 60 180 112 Ih, [5,3], (*532)  
完全扭棱二十面体
小二十面半无穷星形十二面体英语Small icosihemidodecacron   无穷星形多面体 30 60 26 Ih, [5,3], (*532)  
小二十面半十二面体
小十二面半无穷星形十二面体英语Small dodecahemidodecacron   无穷星形多面体 30 60 18 Ih, [5,3], (*532)  
小十二面半十二面体
大菱形三十面体   星形多面体 30 60 32 Ih, [5,3], (*532)  
大截半二十面体
大十二面半无穷星形十二面体英语Great dodecahemidodecacron   无穷星形多面体 30 60 18 Ih, [5,3], (*532)  
大十二面半十二面体
大二十面半无穷星形十二面体英语Great icosihemidodecacron   无穷星形多面体 30 60 26 Ih, [5,3], (*532)  
大二十面半十二面体
内侧菱形三十面体   星形多面体 30 60 24 Ih, [5,3], (*532)  
截半大十二面体
小十二面半无穷星形二十面体英语Small dodecahemicosacron   无穷星形多面体 30 60 22 Ih, [5,3], (*532)  
小十二面半二十面体
大十二面半无穷星形二十面体英语Great dodecahemicosacron   无穷星形多面体 30 60 22 Ih, [5,3], (*532)  
大十二面半二十面体
大双三角十二角星化六十面体英语Great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron   星形多面体 60 120 44 Ih, [5,3], (*532)  
大双三角十二面截半二十面体
大二十角星化六十面体英语Great icosacronic hexecontahedron   星形多面体 60 120 52 Ih, [5,3], (*532)  
大二十面化截半二十面体
大十二面二十面六十面体   星形多面体 60 120 32 Ih, [5,3], (*532)  
大十二面二十面体
小六角星六十面体英语Small hexagrammic hexecontahedron   星形多面体 60 180 112 Ih, [5,3], (*532)  
小反屈扭棱二十面截半二十面体
小三角六边形二十面体   星形多面体 20 60 32 Ih, [5,3], (*532)  
小双三斜三十二面体
内侧三角六边形二十面体   星形多面体 20 60 24 Ih, [5,3], (*532)  
双三斜十二面体
大三角六边形二十面体   星形多面体 20 60 32 Ih, [5,3], (*532)  
大双三斜三十二面体
小十二角星化六十面体维基数据所列Q18048505   星形多面体 60 120 44 Ih, [5,3], (*532)  
小十二面截半二十面体
小星形菱形十二面体英语Small rhombidodecacron   星形多面体 60 120 42 Ih, [5,3], (*532)  
小斜方十二面体
大五角化十二面体   星形多面体 60 90 24 Ih, [5,3], (*532)  
小星形截角十二面体
大星形五角化十二面体   星形多面体 60 90 32 Ih, [5,3], (*532)  
截角大二十面体
小二十角星化六十面体英语Small icosacronic hexecontahedron   星形多面体 60 120 52 Ih, [5,3], (*532)  
小二十面化截半二十面体
小双三角十二角星化六十面体英语Small ditrigonal dodecacronic hexecontahedron   星形多面体 60 120 44 Ih, [5,3], (*532)  
小双三角十二面截半二十面体
小十二面二十面六十面体英语Small dodecicosacron   星形多面体 60 120 32 Ih, [5,3], (*532)  
小十二面二十面体
大三角化二十面体英语Great triakis icosahedron   星形多面体 60 90 32 Ih, [5,3], (*532)  
大星形截角十二面体
大二重斜方截半二十面无穷星形六十面体英语Great dirhombicosidodecacron   无穷星形多面体 60 240 124 Ih, [5,3], (*532)  
大二重斜方截半二十面体
大六角六十面体英语Great hexagonal hexecontahedron   星形多面体 60 180 104 Ih, [5,3], (*532)  
大扭棱十二面截半二十面体
大二重扭棱二重斜方十二面无穷星形六十面体维基数据所列Q18048492   无穷星形多面体 60 360 204 Ih, [5,3], (*532)  
大二重扭棱二重斜方十二面体
三重二方二十面体英语Tridyakis icosahedron   星形多面体 120 180 44 Ih, [5,3], (*532)  
二十面截角十二面十二面体
内侧双二方三十面体英语Medial disdyakis triacontahedron   星形多面体 120 180 54 Ih, [5,3], (*532)  
截角截半大十二面体
大四角化菱形三十面体维基数据所列Q18048490   星形多面体 120 180 62 Ih, [5,3], (*532)  
大截角截半二十面体
中五角六十面体英语Medial pentagonal hexecontahedron   星形多面体 60 150 84 Ih, [5,3], (*532)  
扭棱小星形十二面体
中六角六十面体英语Medial hexagonal hexecontahedron   星形多面体 60 180 104 Ih, [5,3], (*532)  
扭棱二十面化截半大十二面体
大五角六十面体英语Great pentagonal hexecontahedron   星形多面体 60 150 92 Ih, [5,3], (*532)  
扭棱大星形十二面体
大逆五角六十面体维基数据所列Q18048506   星形多面体 60 150 92 Ih, [5,3], (*532)  
反扭棱大星形十二面体
中逆五角六十面体英语Medial inverted pentagonal hexecontahedron   星形多面体 60 150 84 Ih, [5,3], (*532)  
反扭棱小星形十二面体
大五角星六十面体英语Great pentagrammic hexecontahedron   星形多面体 60 150 92 Ih, [5,3], (*532)  
大反屈扭棱截半二十面体

参见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208 
  2. ^ Gailiunas, P.; Sharp, J., Duality of polyhedra, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2005, 36 (6): 617–642, S2CID 120818796, doi:10.1080/00207390500064049 
  3. ^ Fleurent, GM. Symmetry and polyhedral stellation—Ib. Symmetry 2 (Elsevier). 1989: 177–193. 
  4. ^ Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
  5. ^ Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  6. ^ Weisstein, Eric W. Dipyramid. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. (原始内容存档于2023-06-20) (英语). 
  7. ^ Weisstein, Eric W. Antiprism. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. (原始内容存档于2019-05-02) (英语). 
  8. ^ Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P., Mathematical Models英语Mathematical Models (Cundy and Rollett) 2nd, Oxford: Clarendon Press, 1961, MR 0124167 
  9. ^ Cundy & Rollett (1961)[8], p. 117
  10. ^ Wenninger (1983)[1], p. 30
  11. ^ Weisstein, Eric W. Rhombic Dodecahedron. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. (原始内容存档于2023-07-03) (英语). 
  12. ^ Weisstein, Eric W. Dual Polyhedron. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. (原始内容存档于2020-10-30) (英语).