曲面积分

数学上，曲面积分，也称为面积分（英语：Surface integral），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是实数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。

面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的经典物理学中。

标量场的面积分

考虑定义在曲面S上的实函数 $f$ ，计算面积分的一个办法是将曲面分割成很多小片，假设函数 $f$ 在每小片的变化不大，且每个小片的近似计算的面积跟实际面积误差不大，任意取每片中函数 $f$ 的值，然后乘以小片的近似面积，最后全部加起来得到一个值，当这种分割越来越细时，如果这值趋近一个实数，我们称这个实数为实数值函数 $f$ 在曲面 $S$ 上的面积分。

要找到面积分的直接公式，首先需要参数化曲面S，也即在S上建立坐标系，就像球面上的经纬度。令参数化为x(s, t)，其中(s, t)在某个平面上的区域T中变化。则 $f$ 在曲面 $S$ 的面积分为

\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t

其中 $\textstyle \left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|$ 是x(s, t)的偏导数的外积这向量的长度，而 $\textstyle \left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|\mathrm {d} s\mathrm {d} t$ 在微分几何里又叫作流形 $S$ 的面积元素（Surface element）。

例如，如果要找出某个函数（ $z=f\,(x,y)$ ）形状的曲面面积，就有

A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}\right|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y

其中 $\mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))$ 。所以， ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}=(1,0,f_{x}(x,y))$ ，且 ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=(0,1,f_{y}(x,y))$ 。因此

{\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}

这就是一般以 $(x,y,f(x,y))$ 为参数的曲面其面积的标准公式。很容易认出第二行中的向量是曲面的法向量。

注意，因为外积的存在，这里的公式只在曲面嵌入在三维空间中时适用。

向量场的面积分

曲面上的向量场。

考虑S上的向量场v，对于每个S上的点x，v(x)是一个向量。想象一个穿过S的液体流，使得v(x)决定液体在x的速度。则流量定义为单位时间穿过S的液体量。

这个解释意味着如果向量场和S在每点相切，则流量为0，因为液体平行于S流动，从而不进不出。这也意味着如果v不仅仅沿着S流动，也即，如果v既有切向分量也有法向分量，则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理，要找出流量，我们必须取v和S上每点的单位法向量的点积，这就给出了一个标量场，然后就可以用上述方式积分。公式如下