曲面積分

數學上，曲面積分，也稱為面積分（英語：Surface integral），是在曲面上的定積分（曲面可以是空間中的彎曲子集）；它可以視為和線積分相似的雙重積分。給定一個曲面，可以在上面對純量場（也就是實數值的函數）進行積分，也可以對向量場（也就是向量值的函數）積分。

面積分在物理中有大量應用，特別是在電磁學的經典物理學中。

純量場的面積分

考慮定義在曲面S上的實函數 $f$ ，計算面積分的一個辦法是將曲面分割成很多小片，假設函數 $f$ 在每小片的變化不大，且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大，任意取每片中函數 $f$ 的值，然後乘以小片的近似面積，最後全部加起來得到一個值，當這種分割越來越細時，如果這值趨近一個實數，我們稱這個實數為實數值函數 $f$ 在曲面 $S$ 上的面積分。

要找到面積分的直接公式，首先需要參數化曲面S，也即在S上建立坐標系，就像球面上的經緯度。令參數化為x(s, t)，其中(s, t)在某個平面上的區域T中變化。則 $f$ 在曲面 $S$ 的面積分為

\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t

其中 $\textstyle \left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|$ 是x(s, t)的偏導數的外積這向量的長度，而 $\textstyle \left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|\mathrm {d} s\mathrm {d} t$ 在微分幾何裡又叫作流形 $S$ 的面積元素（Surface element）。

例如，如果要找出某個函數（ $z=f\,(x,y)$ ）形狀的曲面面積，就有

A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}\right|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y

其中 $\mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))$ 。所以， ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}=(1,0,f_{x}(x,y))$ ，且 ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=(0,1,f_{y}(x,y))$ 。因此

{\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}

這就是一般以 $(x,y,f(x,y))$ 為參數的曲面其面積的標準公式。很容易認出第二行中的向量是曲面的法向量。

注意，因為外積的存在，這裡的公式只在曲面嵌入在三維空間中時適用。

向量場的面積分

曲面上的向量場。

考慮S上的向量場v，對於每個S上的點x，v(x)是一個向量。想像一個穿過S的液體流，使得v(x)決定液體在x的速度。則流量定義為單位時間穿過S的液體量。

這個解釋意味著如果向量場和S在每點相切，則流量為0，因為液體平行於S流動，從而不進不出。這也意味著如果v不僅僅沿著S流動，也即，如果v既有切向分量也有法向分量，則只有法向分量對流量作出貢獻。基於這個推理，要找出流量，我們必須取v和S上每點的單位法向量的點積，這就給出了一個純量場，然後就可以用上述方式積分。公式如下