椭球

标准方程

椭球在xyz-笛卡儿坐标系中的方程式：

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1

其中a和b是赤道半径（沿着x和y轴），c是极半径（沿着z轴）。这三个数都是固定的正实数，决定了椭球的形状。

如果三个半径都是相等的，那么就是一个球；如果有两个半径是相等的，则是一个类球面。

$a=b=c\,\!$ ：球；
$a=b>c\,\!$ ：扁球面（类似盘状）；
$a=b<c\,\!$ ：长球面（类似条状）；
$a\neq b,b\neq c,c\neq a\!$ ：不等边椭球（“三条边都不相等”）。

点(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。从原点到这三个点的线段，称为椭球的半主轴。它们与椭圆的半长轴和半短轴相对应。

参数化

使用球坐标系，其中 ${\color {white}+}\!\!\!\theta {\color {white}'}\,\!$ 是天顶角， ${\color {white}+}\!\!\!\varphi {\color {white}\!\!\!-}\,\!$ 是方位角，则椭球可以表示为以下的参数形式：

{\begin{aligned}x&=a\,\sin \theta \cos \varphi ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=c\,\cos \theta ;\end{aligned}}\,\!

{\begin{matrix}0\leq \theta \leq {180}^{\circ };\quad {0}\leq \varphi \leq {360}^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!

以扁椭球的XZ截面为例，这里的高度角是t，目标点是P，t不是点P的大地纬度，也不是它的地心纬度，由于此参数定义而被阿瑟·凯莱称为“参数纬度”^[1] 。

使用地理坐标系，其中 $\beta \,\!$ 是一点的参数纬度， ${\color {white}+}\!\!\!\lambda {\color {white}'}\,\!$ 是该点的经度：

{\begin{aligned}x&=a\,\cos \beta \cos \lambda ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\cos \beta \sin \lambda ;\\z&=c\,\sin \beta ;\end{aligned}}\,\!

{\begin{matrix}-90^{\circ }\leq \beta \leq 90^{\circ };\quad -180^{\circ }\leq \lambda \leq 180^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!

（注意，当

\scriptstyle {{\color {white}|}\beta =\pm {90}^{\circ }}{\color {white}|}\,\!

时，也就是在极点时，这个参数不是一一对应的）

体积和表面积

体积

椭球的体积由以下公式给出：

{\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!

注意，当三个半径都相等时，这个公式便化为球的体积；两个半径相等时，便化为扁球面或长球面的体积。

表面积

椭球的表面积由以下公式给出：

S=2\pi \left[c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}F\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}\right)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}E\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}\right)\right],\,\!

其中

o\!\varepsilon =\arccos {\frac {c}{a}}\;

（扁球面）或

\arccos {\frac {a}{c}}\;

（长球面），是角离心率；

F(x,k)\,\!

、

E(x,k)\,\!

是第一类和第二类不完全椭圆积分。

与球的表面积不同，椭球的表面积一般不能用初等函数来表示。

一个近似公式为：

S\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{\frac {1}{p}}.\,\!

其中 $p\approx 1.6075\,$ 。这样相对误差最多为 $1.061\,$ %（Knud Thomsen公式）； $p={\frac {8}{5}}=1.6\,$ 的值对于接近于球的椭球较为适宜，其相对误差最多为 $1.178\,$ %（David W. Cantrell公式）。

对于 $a=b\,$ 的情况，有一个精确的公式：

扁球面：

S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} \sin o\!\varepsilon }{\sin o\!\varepsilon }}\right);\,\!

长球面：

S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {o\!\varepsilon }{\tan o\!\varepsilon }}\right);\,\!

$c\,$ 比 $a\,$ 和 $b\,$ 都小很多时，表面积近似等于 $2\pi ab.\,\!$ 。

椭球与平面相交的横截面

示意图：一个三轴椭球和平行于XY平面的水平平面相交。

椭球与平面相交的横截面为椭圆。如右图所示，椭圆的两个直径 ${d_{2}}$ 与 ${d_{1}}$ 可表示为^[2]

${d_{1,2}^{2}}={{8(1-{z_{c}^{2} \over {\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}\sin ^{2}p_{i}}})} \over {\sum _{i=1}^{3}{\cos ^{2}p_{i} \over {r_{i}^{2}}}}\pm {\sqrt {(\sum _{i=1}^{3}{\cos ^{2}p_{i} \over {r_{i}^{2}}})^{2}-4(\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}\sin ^{2}p_{i})/r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}}}}$