泡利方程

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用

\mathbf {r} \,\!

表示；而其大小则用

r\,\!

来表示。

泡利方程或称薛定谔-泡利方程，为描述带有自旋1/2的粒子在与电磁场相互作用下的修正方程（自旋1/2粒子例如电子）。在此之前，用以描述粒子行为的薛定谔方程则未考虑到粒子自旋的性质。其为狄拉克方程在非相对论极限下的特例，应用在粒子速度慢到相对论效应可以忽略的场合。

泡利方程是由沃尔夫冈·泡利于1927年所建构。

方程

一自旋粒子具有质量m、电荷q，于外加电磁场中运动；外加电磁场可以标势ϕ、矢势A = (A_x, A_y, A_z)来描述。泡利方程可描述外加电磁场与自旋相互作用的影响：

泡利方程 （广义形式）

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

其中

\mathbf {p}

为动量算符（p = −iħ∇，∇为梯度算符），

{\vec {\sigma }}

为泡利矩阵，

|\psi \rangle :={\begin{pmatrix}|\psi _{+}\rangle \\|\psi _{-}\rangle \end{pmatrix}}

为泡利旋量。

两个旋量分量都满足薛定谔方程

{\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle

，

这表示系统是有额外但简并的的自由度。

另可看出泡利方程的哈密顿算符为：

{\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi

因泡利矩阵的存在，此哈密顿算符为2 × 2矩阵算符。泡利方程的哈密顿算符形似于带电粒子在电磁场中的经典哈密顿算符，但后者没有考虑到自旋。

泡利矩阵可以从动能项中移出，只要使用泡利矩阵的关系式：

({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)

将p = −iħ∇代入，可得到^[1]

{\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi

其中B = ∇ × A，即磁场。

与施特恩-格拉赫实验的关系

泡利方程可分拆为两项：

泡利方程 （磁场B）

$\underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}|\psi _{\pm }\rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} |\psi _{\pm }\rangle } _{\text{Stern-Gerlach term}}$