在这篇文章内,向量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如,位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示;而其大小则用 r {\displaystyle r\,\!} 来表示。 在静电学 里,电势 (electric potential/ ePtntl)又称电位 (eForce/ eFrc)[1] ,是描述电场中某一点之能量高低性质的物理标量 ,操作型定义为“电场中某处的电势”等于“处于电场 中该位置的单位电荷 所具有的电势能 ”[2] ,单位用伏特 。
两个同性电荷的电场线和等势线。 电势的数值不具有绝对意义,只具有相对意义,因此为了便于分析问题,必须设定一个参考位置,并把它设为零,称为零势能点。通常,会把无穷远处的电势设定为零。那么,电势可以定义如下:假设检验电荷从无穷远位置,经过任意路径,克服电场力,以缓慢、没有产生加速度的方式移动到某位置,则在这位置的电势,等于因移动检验电荷所做的功 与检验电荷的电荷量 的比值。在国际单位制 里,电势的单位为伏特 (V = J / C {\displaystyle \scriptstyle {{\text{V}}={\text{J}}/{\text{C}}}} )(Volt),它是为了纪念意大利物理学家亚历山德罗·伏特 (Alessandro Volta)而命名。
电势必需满足泊松方程 ,同时符合相关边界条件;假设在某区域内的电荷密度 为零,则泊松方程约化为拉普拉斯方程 ,电势必需满足拉普拉斯方程。
在电动力学 里,当含时电磁场 存在的时候,电势可以延伸为“广义电势”。特别注意,广义电势不能被视为电势能每单位电荷。
处于外电场 的带电粒子 会受到外电场施加的作用力 ,称为电场力 ,促使带电粒子加速运动。对于带正电粒子,电场力与电场 同方向;对于带负电粒子,电场力与电场反方向。电场力的数值大小与电荷量、电场数值大小成正比。
作用力 与势能 之间有非常直接的关系。随着物体朝著作用力的方向的加速运动,物体的动能 变大,势能变小。例如,一个石头在山顶的重力势能 大于在山脚的重力势能。随着物体的滚落,重力势能变小,动能变大。
对于某种特别作用力,科学家可以定义其向量场 和其位势 ,使得物体因为这向量场而具有的势能,只与物体位置、参考位置之间的距离有关。称这种作用力为保守力 ,这种向量场为保守场 。
例如,重力 、静电场的电场力,都是保守力。静电场的标势 称为电势 ,或称为静电势 。
电势和磁矢势 共同形成一个四维向量 ,称为四维势 。从某一个惯性参考系 观察到的四维势,应用洛伦兹变换 ,可以计算出另外一个惯性参考系所观察到的四维势。
静电学里的电势
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拉普拉斯方程的解答
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在某空间区域内,假设电荷密度 为零,则电势必须满足拉普拉斯方程 ,并且符合所有相关边界条件 。
边界条件
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在静电学里,有三种边界条件:
狄利克雷边界条件 :在所有边界,电势都已良态给定。具有这种边界条件的问题称为狄利克雷问题 。
纽曼边界条件 :在所有边界,电势的法向导数都已良态给定。具有这种边界条件的问题称为纽曼问题 。
混合边界条件:一部分边界的电势都已良态给定,其它边界的电势的法向导数也已良态给定。 根据拉普拉斯方程的唯一性定理 ,对于这些种类的边界条件,拉普拉斯方程的解答都具有唯一性。所以,只要找到一个符合边界条件的解答,则这解答必定为正确解答。
分离变数法
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应用分离变数法 来解析拉普拉斯方程,可以将问题的偏微分方程改变为一组较容易解析的常微分方程 。对于一般问题,通常会采用直角坐标系、圆柱坐标系或球坐标系来分离拉普拉斯方程。但是,对于其它比较特别的问题,另外还有八种坐标系可以用来分离拉普拉斯方程。[3] 分离之后,找到每一个常微分方程的通解(通常为一组本征方程的叠加),电势可以表达为这些通解的乘积。将这表达式与边界条件相匹配,就可以设定一般解的系数,从而找到问题的特解。根据拉普拉斯方程的唯一性定理,这特解也是唯一的正确解答。
两个半平面导体案例
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被位于y = 0 {\displaystyle y=0} 的绝缘线条分隔为处于y+ 、y- -半平面的两个导体的电势分别设定为+ V {\displaystyle +V} 、− V {\displaystyle -V} 。 假设在xy-平面的无限平面导体 被一条位于y = 0 {\displaystyle y=0} 的绝缘线条分为两半,两个处于y+ 、y- -半平面的导体的电势分别设定为+ V {\displaystyle +V} 、− V {\displaystyle -V} ,则计算z+ -半空间任意位置的电势这问题,由于边界条件的几何形状适合用直角坐标来描述,可以以直角坐标( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 将拉普拉斯方程表示为:
∇ 2 ϕ = ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + ∂ 2 ϕ ∂ z 2 = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0} 。因为这案例与x-坐标无关,方程可以简化为
∇ 2 ϕ ( y , z ) = ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + ∂ 2 ϕ ∂ z 2 = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (y,z)={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0} 。应用分离变数法,猜想解答的形式为
ϕ ( y , z ) = Y ( y ) Z ( z ) {\displaystyle \phi (y,z)=Y(y)Z(z)} 。将这公式代入拉普拉斯方程,则可得到
1 Y ( y ) d 2 Y ( y ) d y 2 + 1 Z ( z ) d 2 Z ( z ) d z 2 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Y(y)}{\mathrm {d} y^{2}}}+{\frac {1}{Z(z)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Z(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}=0} 。注意到这方程的每一个项目都只含有一个变量,并且跟其它变量无关。所以,每一个项目都等于常数:
1 Y ( y ) d 2 Y ( y ) d y 2 = C {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Y(y)}{\mathrm {d} y^{2}}}=C} 、
1 Z ( z ) d 2 Z ( z ) d z 2 = − C {\displaystyle {\frac {1}{Z(z)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Z(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}=-C} 。这样,一个二次偏微分方程被改变为两个简单的二次常微分方程。解答分别为
Y ( y ) = A 1 e i k y + A 2 e − i k y {\displaystyle Y(y)=A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky}} 、
Z ( z ) = B 1 e k z + B 2 e − k z {\displaystyle Z(z)=B_{1}e^{kz}+B_{2}e^{-kz}} ;其中,A 1 ( k ) {\displaystyle A_{1}(k)} 、A 2 ( k ) {\displaystyle A_{2}(k)} 、B 1 ( k ) {\displaystyle B_{1}(k)} 、B 2 ( k ) {\displaystyle B_{2}(k)} 都是系数函数。
当z {\displaystyle z} 趋向于无穷大时,Z ( z ) {\displaystyle Z(z)} 趋向于零,所以,B 1 = 0 {\displaystyle B_{1}=0} 。综合起来,电势为
ϕ ( y , z ) = ∫ 0 ∞ ( A 1 e i k y + A 2 e − i k y ) e − k z d k {\displaystyle \phi (y,z)=\int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})e^{-kz}\mathrm {d} k} 。由于在z = 0 {\displaystyle z=0} ,y+ 、y- -半平面的电势分别为+ V {\displaystyle +V} 、− V {\displaystyle -V} ,所以,
当y > 0 {\displaystyle y>0} 时,∫ 0 ∞ ( A 1 e i k y + A 2 e − i k y ) d k = + V {\displaystyle \int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrm {d} k=+V} 、
当y < 0 {\displaystyle y<0} 时,∫ 0 ∞ ( A 1 e i k y + A 2 e − i k y ) d k = − V {\displaystyle \int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrm {d} k=-V} 。 应用傅里叶变换,可以得到
A 1 ( k ) = V 2 π ( ∫ 0 ∞ e − i k y ′ d y ′ − ∫ − ∞ 0 e − i k y ′ d y ′ ) {\displaystyle A_{1}(k)={\frac {V}{2\pi }}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-iky'}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{-iky'}\mathrm {d} y'\right)} 、
A 2 ( k ) = V 2 π ( ∫ 0 ∞ e i k y ′ d y ′ − ∫ − ∞ 0 e i k y ′ d y ′ ) {\displaystyle A_{2}(k)={\frac {V}{2\pi }}\left(\int _{0}^{\infty }e^{iky'}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{iky'}\mathrm {d} y'\right)} 。所以,由A 1 ( k ) {\displaystyle A_{1}(k)} 项目贡献出的电势为
ϕ 1 = V 2 π ∫ 0 ∞ d k { ∫ 0 ∞ e i k ( y − y ′ ) − k z d y ′ − ∫ − ∞ 0 e i k ( y − y ′ ) − k z d y ′ } = − V 2 π ∫ 0 ∞ d y ′ i ( y − y ′ ) − z + V 2 π ∫ − ∞ 0 d y ′ i ( y − y ′ ) − z {\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}&={\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k\left\{\int _{0}^{\infty }e^{ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'\right\}\\&=-\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{i(y-y')-z}}+\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}} 。 类似地,由A 2 ( k ) {\displaystyle A_{2}(k)} 项目贡献出的电势为
ϕ 2 = V 2 π ∫ 0 ∞ d k { ∫ 0 ∞ e − i k ( y − y ′ ) − k z d y ′ − ∫ − ∞ 0 e − i k ( y − y ′ ) − k z d y ′ } = − V 2 π ∫ 0 ∞ d y ′ − i ( y − y ′ ) − z + V 2 π ∫ − ∞ 0 d y ′ − i ( y − y ′ ) − z {\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{2}&={\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k\left\{\int _{0}^{\infty }e^{-ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{-ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'\right\}\\&=-\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{-i(y-y')-z}}+\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{-i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}} 。 总电势为[4]
ϕ = V z π ∫ 0 ∞ d y ′ ( y − y ′ ) 2 + z 2 − V z π ∫ − ∞ 0 d y ′ ( y − y ′ ) 2 + z 2 = 2 V π arctan ( y z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\phi &={\frac {Vz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}-\ {\frac {Vz}{\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}\\&={\frac {2V}{\pi }}\ \arctan {\left({\frac {y}{z}}\right)}\\\end{aligned}}} 。 泊松方程的解答
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电荷分布所产生的电势
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根据库仑定律 ,一个源位置为r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 的点电荷q {\displaystyle q} ,所产生在任意位置r {\displaystyle \mathbf {r} } 的电场为
E ( r ) = q 4 π ϵ 0 ( r − r ′ ) | r − r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}} 。对于一群点电荷,应用叠加原理 ,总电场等于每一个点电荷所产生的电场的叠加。体积区域V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 内部电荷密度为ρ ( r ′ ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')} 的电荷分布,在检验位置r {\displaystyle \mathbf {r} } 所产生的电场为
E ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ ) ( r − r ′ ) | r − r ′ | 3 d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} '){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}r'} ;其中,d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r'} 是微小体积元素。
应用一条向量恒等式 ,
∇ 1 | r − r ′ | = − ( r − r ′ ) | r − r ′ | 3 {\displaystyle \nabla {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=-\ {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}} ,可以得到
E ( r ) = − 1 4 π ϵ 0 ∇ ∫ V ′ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\nabla \int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}r'} 。设定在无穷远的电势为参考值0,则在任意位置的电势为
ϕ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}r'} ;(1) 应用一则关于狄拉克δ函数 的向量恒等式
∇ 2 ( 1 | r − r ′ | ) = − 4 π δ ( r − r ′ ) {\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')} ,假设检验位置r {\displaystyle \mathbf {r} } 在积分体积V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 内,则可得到泊松方程:
∇ 2 ϕ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ∇ 2 ( ρ ( r ′ ) | r − r ′ | ) d 3 r ′ = − 1 ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ ) δ ( r − r ′ ) d 3 r ′ = − ρ ( r ) ϵ 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\nabla ^{2}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ \mathrm {d} ^{3}r'=-\ {\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}r'=-\ {\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}}} 。所以,电势的方程(1)为泊松方程的解答。
边界条件
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电势的方程(1)只考虑到一群电荷分布所产生的电势。假若遭遇边界条件为电势的静电学问题,就不能使用方程(1),必需使用更具功能的方法。
根据格林第二恒等式 ,对于任意良态函数 ϕ ( r ) {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )} 与ψ ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} ,[5]
∫ V ( ϕ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 ϕ ) d 3 r = ∮ S ( ϕ ∂ ψ ∂ n − ψ ∂ ϕ ∂ n ) d 2 r {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\left(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi \right)\ \mathrm {d} ^{3}r=\oint _{\mathbb {S} }\left(\phi {\partial \psi \over \partial n}-\psi {\partial \phi \over \partial n}\right)\ \mathrm {d} ^{2}r} ;其中,V {\displaystyle \mathbb {V} } 是积分体积,S {\displaystyle \mathbb {S} } 是包住V {\displaystyle \mathbb {V} } 的闭表面,d 2 r {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}r} 是微小面元素,∂ ϕ ∂ n {\displaystyle \partial \phi \over \partial n} 或∂ ϕ ∂ n {\displaystyle \partial \phi \over \partial n} 都是取垂直于闭表面S {\displaystyle \mathbb {S} } 的法向导数 ,都是从积分体积V {\displaystyle \mathbb {V} } 朝外指出。
设定ϕ ( r ′ ) {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ')} 为在r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 的电势,ψ = 1 | r − r ′ | {\displaystyle \psi ={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}} 为r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 与r {\displaystyle \mathbf {r} } 之间的距离。应用泊松方程∇ 2 ϕ ( r ) = − ρ / ϵ 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )=-\rho /\epsilon _{0}} ,则可得到
∫ V ′ [ ϕ ( r ′ ) ∇ 2 ( 1 | r − r ′ | ) + ρ ( r ′ ) ϵ 0 | r − r ′ | ] d 3 r ′ = ∮ S ′ [ ϕ ∂ ∂ n ′ ( 1 | r − r ′ | ) − ( 1 | r − r ′ | ) ∂ ϕ ∂ n ′ ] d 2 r ′ {\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}\left[\phi (\mathbf {r} ')\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)+{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\epsilon _{0}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]\mathrm {d} ^{3}r'=\oint _{\mathbb {S} '}\left[\phi \ {\partial \over \partial n'}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right){\partial \phi \over \partial n'}\right]\mathrm {d} ^{2}r'} 。再应用向量恒等式
∇ 2 ( 1 | r − r ′ | ) = − 4 π δ ( r − r ′ ) {\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')} 。假设检验位置r {\displaystyle \mathbf {r} } 在积分体积V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 内,则可得到
ϕ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ + 1 4 π ∮ S ′ [ ( 1 | r − r ′ | ) ∂ ϕ ∂ n ′ − ϕ ∂ ∂ n ′ ( 1 | r − r ′ | ) ] d 2 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}r'+{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\left[\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right){\partial \phi \over \partial n'}-\phi \ {\partial \over \partial n'}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\right]\mathrm {d} ^{2}r'} 。这方程右手边的体积分就是电势的方程(1),而面积分就是因为边界条件 而添加的项目。这是V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 体内与体外之间的边界曲面。面积分的第一个项目要求给定在边界曲面的法向电场,即E n ′ = − ∂ ϕ ∂ n ′ {\displaystyle E_{n'}=-{\partial \phi \over \partial n'}} ,也就是面感应电荷密度σ = ϵ 0 E n ′ {\displaystyle \sigma =\epsilon _{0}E_{n'}} 。面积分的第二个项目要求给定在边界曲面的电势ϕ {\displaystyle \phi } 。假若能够知道积分体积内的电荷密度、在闭曲面的面电荷密度与电势,就可以计算出在积分体积内任意位置的电势。
根据柯西边界条件 ,有时候,给定在边界曲面的法向电场与电势,可能会因为给定过多边界条件,而造成无法计算出一致的电势的状况。实际而言,只要给定法向电场或电势,两者之一,就可以计算出电势。[5]
假若积分体积为无穷大空间,当r ′ {\displaystyle r'} 趋向于无穷大时,则面积分的被积分项目会以1 / r ′ 3 {\displaystyle 1/r'^{3}} 速率递减,而积分面积会以r ′ 2 {\displaystyle r'^{2}} 速率递增,所以,面积分项目会趋向于零,这方程约化为先前的电势方程(1)。
格林函数
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包括函数1 / | r − r ′ | {\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|} 在内,有一类函数G ( r , r ′ ) {\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')} ,称为格林函数 ,能够满足方程
∇ 2 G ( r , r ′ ) = − 4 π δ ( r − r ′ ) {\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')} 。另外,假设函数H ( r , r ′ ) {\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')} 满足拉普拉斯方程
∇ 2 H ( r , r ′ ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0} ,则函数G ′ ( r , r ′ ) = G ( r , r ′ ) + H ( r , r ′ ) {\displaystyle G'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')} 也是格林函数。
应用这灵活性质,可以更严格地规定格林函数:[5]
对于狄利克雷问题 ,当源位置r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 在边界表面S ′ {\displaystyle {\mathbb {S} '}} 时,规定格林函数G D ( r , r ′ ) = 0 {\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0} 。这样,从格林第二恒等式,设定ϕ ( r ′ ) {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ')} 为在r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 的电势,ψ ( r , r ′ ) = G D ( r , r ′ ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')} ,则可得到 ϕ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ ) G D ( r , r ′ ) d 3 r ′ − 1 4 π ∮ S ′ ϕ ( r ′ ) ∂ G D ( r , r ′ ) ∂ n ′ d 2 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}r'-\ {\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\phi (\mathbf {r} ')\ {\partial G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ') \over \partial n'}\mathrm {d} ^{2}r'} 。(2) 对于满足纽曼问题 ,当源位置r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 在边界表面S ′ {\displaystyle {\mathbb {S} '}} 时,规定格林函数∮ S ′ ∂ G D ( r , r ′ ) ∂ n ′ d 2 r ′ = − 4 π S {\displaystyle \oint _{\mathbb {S} '}{\frac {\partial G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\mathrm {d} ^{2}r'=-{\frac {4\pi }{S}}} 。 这两种规定都能够唯一地设定格林函数。注意到格林函数是一个几何函数,与整个系统的电荷分布无关。对于任何系统,只要计算出适合其几何形状的格林函数,则不论系统的电荷分布为何,都可以使用同样的格林函数。
无限平面导体案例
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位于xy-平面的是一个接地 的无限平面导体。其上方的点电荷q {\displaystyle q} 的直角坐标是( 0 , 0 , a ) {\displaystyle (0,\,0,\,a)} 。 假设xy-平面是接地 的无限平面导体 ,则对于z+ 半空间、满足狄利克雷边界条件的格林函数为
G D ( r , r ′ ) = 1 ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2 − 1 ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z + z ′ ) 2 {\displaystyle {\begin{matrix}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}\\\qquad \qquad \qquad -\ {\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}}}}\\\end{matrix}}} ; 其中,( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 、( x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle (x',y',z')} 分别是检验位置r {\displaystyle \mathbf {r} } 、源位置r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 的直角坐标 。
由于接地导体的电势为零,方程(2)的面积分项目等于零,方程(2)变为
ϕ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ ) G D ( r , r ′ ) d 3 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}r'} 。假设在位置( 0 , 0 , a ) {\displaystyle (0,0,a)} 有点电荷q {\displaystyle q} ,则在z+ 半空间任意位置的电势为
ϕ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ ) ( 1 x 2 + y 2 + ( z − a ) 2 − 1 x 2 + y 2 + ( z + a ) 2 ) d 3 r ′ = 1 4 π ϵ 0 ( q x 2 + y 2 + ( z − a ) 2 − q x 2 + y 2 + ( z + a ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right)\ \mathrm {d} ^{3}r'\\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}-{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right)\\\end{aligned}}} 。 仔细检察这方程,右手边第一个项目,是在没有平面导体的状况时,点电荷q {\displaystyle q} 所产生的电势;右手边第二个项目,是使用镜像法 时,镜像电荷− q {\displaystyle -q} 所产生的电势。请参阅镜像法 条目的点电荷与无限平面导体 段落。
已知函数1 / | r − r ′ | {\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|} 为格林函数G ( r , r ′ ) {\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')} ,满足方程
∇ 2 G ( r , r ′ ) = − 4 π δ ( r − r ′ ) {\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')} 。在三维无限空间里,1 / | r − r ′ | {\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|} 的傅里叶级数 为[6]
1 | r − r ′ | ≡ 1 2 π 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ d 3 k e i k ⋅ ( r − r ′ ) k 2 = 1 2 π 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ d k x d k y e i k x ( x − x ′ ) + i k y ( y − y ′ ) ∫ − ∞ ∞ d k z e i k z ( z − z ′ ) k x 2 + k y 2 + k z 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}&\equiv {\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} ^{3}k{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}}{k^{2}}}\\&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}{\frac {e^{ik_{z}(z-z')}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}\\\end{aligned}}} 。 现在,必需找到格林函数G D ( r , r ′ ) = G ( r , r ′ ) + H ( r , r ′ ) {\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')} ,满足狄利克雷边界条件G D ( ( x , y , 0 ) , r ′ ) = 0 {\displaystyle G_{D}((x,y,0),\mathbf {r} ')=0} ,同时,函数H ( r , r ′ ) {\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')} 满足拉普拉斯方程
∇ 2 H ( r , r ′ ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0} 。对于z+ 半空间,H ( r , r ′ ) {\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')} 以傅里叶级数 扩张为
H ( r , r ′ ) = 1 2 π 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ d k x d k y e i k x ( x − x ′ ) + i k y ( y − y ′ ) ∫ − ∞ ∞ d k z [ B ( k , z ′ ) e i k z z + C ( k , z ′ ) e − i k z z ] {\displaystyle {\begin{aligned}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left[B(\mathbf {k} ,z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf {k} ,z')e^{-ik_{z}z}\right]\\\end{aligned}}} 。对于x-坐标与对于y-坐标的傅里叶级数 扩张,H {\displaystyle H} 函数与G {\displaystyle G} 函数的形式相同。这是因为对于无限空间案例与无限平面导体案例,两种案例的x-边界条件与y-边界条件都相同,只有z-边界条件稍有改变。将H {\displaystyle H} 函数的方程代如,G D ( r , r ′ ) {\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')} 变为
G D ( r , r ′ ) = 1 2 π 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ d k x d k y e i k x ( x − x ′ ) + i k y ( y − y ′ ) ∫ − ∞ ∞ d k z [ e i k z ( z − z ′ ) k x 2 + k y 2 + k z 2 + B ( k , z ′ ) e i k z z + C ( k , z ′ ) e − i k z z ] {\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left[{\frac {e^{ik_{z}(z-z')}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}+B(\mathbf {k} ,z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf {k} ,z')e^{-ik_{z}z}\right]} ;其中,B ( k , z ′ ) {\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')} 与C ( k , z ′ ) {\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')} 都是系数函数。
由于G D ( ( x , y , 0 ) , r ′ ) = 0 {\displaystyle G_{D}((x,y,0),\mathbf {r} ')=0} ,对于任意k {\displaystyle \mathbf {k} } 与z ′ {\displaystyle z'} ,B ( k , z ′ ) {\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')} 与C ( k , z ′ ) {\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')} 之间的关系为
e − i k z z ′ k x 2 + k y 2 + k z 2 + B ( k , z ′ ) + C k , z ′ ) = 0 {\displaystyle {\frac {e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}+B(\mathbf {k} ,z')+C\mathbf {k} ,z')=0} 、
B ( k , z ′ ) = B 0 e − i k z z ′ k x 2 + k y 2 + k z 2 {\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')={\frac {B_{0}e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}} 、
C ( k , z ′ ) = C 0 e − i k z z ′ k x 2 + k y 2 + k z 2 {\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')={\frac {C_{0}e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}} ;其中,B 0 {\displaystyle B_{0}} 与C 0 {\displaystyle C_{0}} 都是系数常数,而且,B 0 + C 0 = − 1 {\displaystyle B_{0}+C_{0}=-1}
将这些公式代入G D {\displaystyle G_{D}} ,可以得到
G D ( r , r ′ ) = 1 2 π 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ d k x d k y e i k x ( x − x ′ ) + i k y ( y − y ′ ) ∫ − ∞ ∞ d k z { ( 1 + B 0 ) k 2 [ e i k z ( z − z ′ ) − e i k z ( z + z ′ ) ] } {\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left\{{\frac {(1+B_{0})}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}} 。为了满足方程∇ 2 G D ( r , r ′ ) = − 4 π δ ( r − r ′ ) {\displaystyle \nabla ^{2}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')} ,必需设定B 0 = 0 {\displaystyle B_{0}=0} 。所以,
G D ( r , r ′ ) = 1 2 π 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ d k x d k y e i k x ( x − x ′ ) + i k y ( y − y ′ ) ∫ − ∞ ∞ d k z { 1 k 2 [ e i k z ( z − z ′ ) − e i k z ( z + z ′ ) ] } = 1 | r − r ′ | − 1 | r − r ″ | = 1 ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2 − 1 ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z + z ′ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left\{{\frac {1}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}\\&={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ''|}}\\&={\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}-\ {\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}}}}\\\end{aligned}}} ; 其中,r ″ = ( x ′ , y ′ , − z ′ ) {\displaystyle \mathbf {r} ''=(x',y',-z')} 是镜像电荷的位置。
两个半平面导体案例
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假设在xy-平面的无限平面导体 被一条位于y = 0 {\displaystyle y=0} 的绝缘线条分为两半,两个处于y+ 、y- -半平面的导体的电势分别设定为+ V {\displaystyle +V} 与− V {\displaystyle -V} ,则由于ρ ( r ′ ) = 0 {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')=0} ,方程(2)变为
ϕ ( r ) = − 1 4 π ∮ S ′ ϕ ( r ′ ) ∂ G D ( r , r ′ ) ∂ n ′ d 2 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=-\ {\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\phi (\mathbf {r} ')\ {\partial G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ') \over \partial n'}\mathrm {d} ^{2}r'} 。(3) 注意到V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 是z+ -半空间,xy-平面是其边界闭曲面的一部分,格林函数在xy-平面的法向导数的方向是朝着负z方向:
∂ G D ∂ n ′ = − ∂ G D ∂ z ′ = − z − z ′ [ ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2 ] 3 / 2 − z + z ′ [ ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z + z ′ ) 2 ] 3 / 2 = − 2 z [ ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + z 2 ] 3 / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\partial G_{D} \over \partial n'}&=-\ {\partial G_{D} \over \partial z'}\\&=-\ {\cfrac {z-z'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}]^{3/2}}}\ -\ {\cfrac {z+z'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}]^{3/2}}}\\&=-\ {\cfrac {2z}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\\\end{aligned}}} 。 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 的边界闭曲面在无穷远位置的电势为0,所以,只需要计算xy-平面给出的贡献,就可以得到在V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 内部任意位置的电势。将上述方程代入方程(3):[4]
ϕ ( r ) = 2 z 4 π { ∫ 0 + ∞ ∫ − ∞ ∞ V d x ′ d y ′ [ ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + z 2 ] 3 / 2 + ∫ − ∞ 0 − ∫ − ∞ ∞ − V d x ′ d y ′ [ ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + z 2 ] 3 / 2 } = z V π { ∫ 0 + ∞ d y ′ ( y − y ′ ) 2 + z 2 − ∫ − ∞ 0 − d y ′ ( y − y ′ ) 2 + z 2 } = 2 V π arctan ( y z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {2z}{4\pi }}\left\{\int _{0+}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\cfrac {V\mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}+\int _{-\infty }^{0-}\int _{-\infty }^{\infty }{\cfrac {-V\mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\right\}\\&=\ {\frac {zV}{\pi }}\left\{\int _{0+}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}-\int _{-\infty }^{0-}{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}\right\}\\&={\frac {2V}{\pi }}\ \arctan {\left({\frac {y}{z}}\right)}\\\end{aligned}}} 。 推广至电动力学
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参考文献
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^ 電勢 . 中华语文知识库. [2016-03-03 ] . (原始内容 存档于2016年3月6日) (中文(中国大陆)) .
^ 2.0 2.1 Halliday, David; Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamental of Physics 7th, USA: John Wiley and Sons, Inc.: pp. 630ff, 2005, ISBN 0-471-23231-9
^ Jackson 1999 ,第70-72页
^ 4.0 4.1 Beyer, William, CRC Standard Mathematical Table 28th, CRC Press, 1987, ISBN 0-8493-0628-0 pp. 241, formula #43,
pp. 252, formula#165
^ 5.0 5.1 5.2 Jackson 1999 ,第35-40页
^ Jackson 1999 ,第127-129页
^ Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics 3rd. Prentice Hall. 1998: pp. 555–557. ISBN 0-13-805326-X .
延伸阅读
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