测圆海镜
《测圆海镜》是中国金代数学家李冶的代表作,于公元1248年写成。全书一共十二卷,由一百七十个问题组成。书中对勾股容圆的问题进行了探讨,系统地建立了“天元术”(列一元方程的方法)来解决几何问题。《测圆海镜》被认为是中国现存的第一部天元术著作。 天元术是对具体问题列出方程而后求解的方法。天元术于宋金时期开始发展,到元朝达到一个高峰。在《测圆海镜》问世之前,中国虽有以天人代表未知数用以布列方程和多项式的工作,但早期著作已失,仅存被引用的一些片段。李冶在《测圆海镜》中系统而概括地总结了天元术,用“天元”代替未知数,列出方程,然后求解。
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内容
编辑《测圆海镜》由卷一的圆城图式、说明各个长度名称的总率名号、给出各个长度数值的今问正数、囊括了各个量之间关系的公式总集识别杂记;卷二至卷十二,共一百七十个问题及其解答所组成。书中一共有148问,182种方法是以天元术列出方程以求解,其中列出一次方程31个,二次方程106个,三次方程24个,四次方程20个,六次方程1个[1]
卷一
编辑圆城图式
编辑圆城图式(右图)是全书的总括图解,由一个直角三角形(古时称为勾股形)、它的内切圆以及一些特定的点和直线组成。其中的顶点、圆心和交点都用某个汉字来指代。最大的三角形的三个顶点分别是天、地、乾,天地乾三角形的内切圆圆心称为心。过心的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于日、南、北三点。过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点。过东的垂直线和过南的水平线都是内切圆的切线,它们分别交天地乾三角形于艮、坤、山、月四点,而相交于巽点。乾坤巽艮构成一个正方形。过月的垂直线交东西水平线于青点,交地乾边于泉点。过山的水平线交南北垂直线于朱点,交天乾边于金点。而这两条线相交于泛点。最后过日的水平线交天乾边于旦点,过川的垂直线交地乾边于夕点。总共22个点。
总率名号
编辑全书所研究的三角形一共有15个,全部是以天地线之间的线段为弦(斜边)的直角三角形。总率名号给出了这些三角形和线段的名称。它们分别是:
序号 | 三角形名称 | 对应的三个顶点 | 弦 | c股 | b勾 | a
---|---|---|---|---|---|
1 | 通 | 天地乾 | 通弦(天地) | 通股(天乾) | 通勾(地乾) |
2 | 边 | 天西川 | 边弦(天川) | 边股(天西) | 边勾(西川) |
3 | 底 | 日地北 | 底弦(日地) | 底股(日北) | 底勾(地北) |
4 | 黄广 | 天山金 | 黄广弦(天山) | 黄广股(天金) | 黄广勾(山金) |
5 | 黄长 | 月地泉 | 黄长弦(月地) | 黄长股(月泉) | 黄长勾(地泉) |
6 | 上高 | 天日旦 | 上高弦(天日) | 上高股(天旦) | 上高勾(日旦) |
7 | 下高 | 日山朱 | 下高弦(日山) | 下高股(日朱) | 下高勾(山朱) |
8 | 上平 | 月川青 | 上平弦(月川) | 上平股(月青) | 上平勾(川青) |
9 | 下平 | 川地夕 | 下平弦(川地) | 下平股(川夕) | 下平勾(地夕) |
10 | 大差 | 天月坤 | 大差弦(天月) | 大差股(天坤) | 大差勾(月坤) |
11 | 小差 | 山地艮 | 小差弦(山地) | 小差股(山艮) | 小差勾(地艮) |
12 | 皇极 | 日川心 | 皇极弦(日川) | 皇极股(日心) | 皇极勾(川心) |
13 | 太虚 | 月山泛 | 太虚弦(月山) | 太虚股(月泛) | 太虚勾(山泛) |
14 | 明 | 日月南 | 明弦(日月) | 明股(日南) | 明勾(月南) |
15 | 叀 | 山川东 | 叀弦(山川) | 叀股(山东) | 叀勾(川东) |
其中弦是三角形斜边,股是三角形的长直角边(这里是竖直的),勾是三角形短直角边(这里是水平的)。( 代表通勾, 代表通股, 代表通弦,余类推)。
今问正数
编辑今问正数一节给出了圆城图式中每个线段的长度。其中以内切圆的半径为120步,作为标准。
- 弦
- 勾
- 股
- 勾股和:a + b
- 勾股校:b - a
- 勾弦和:a + c
- 勾弦校:c - a
- 股弦和:b + c
- 股弦校:c - b
- 弦校和:c + (b - a)
- 弦校校:c - (b - a)
- 弦和和:(a + b) + c
- 弦和校:(a + b) - c
例子:“通弦六百八十,勾三百二十,股六百;勾股和九百二十,较(两者的差)二百八十;勾弦和一千,较三百六十;股弦和一千二百八十,较八十;弦较和九百六十,较四百;弦和和一千六百,较二百四十。”
15个勾股形中上高 = 下高;上平 = 下平,因此,15个勾股形中,只有13个勾股形是相异的。
《今问正数》共15个勾股形×13项=195项[2]。 ,列表如下。
识别杂记
编辑识别杂记都是关于不同线段之间的几何关系式。一共给出了692个公式。是全书的纲领。
识别杂记包含八项:
- 诸杂名目:是全书的总纲,列出各项定义,例如虚勾虚股相得名为虚率,高股平勾差名为角差,又名远差等等。诸杂名目中还列出三十余项定理,如凡大差小差相乘为半段径幂,大差勾小差股相乘同上、黄广股黄长勾相乘为经幂等等。
名目
编辑名目 | 定义 |
---|---|
内率 | |
外率 | |
虚率 | |
角差 | |
次差 | |
混同和 | |
傍差 | |
夎差 | |
夎和 |
杂用公式
编辑- = *
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- = =
五和五较
编辑此外还有诸弦,大小差,诸差,诸率互见,四位拾遗,拾遗。
一共692关系式,这些关系式完全是几何定理,与具体数值无关。
举例:第三条中“勾股和即弦黄和”一句就是:三角形两直角边之和等于斜边加上内切圆直径(“黄”指内切圆直径)。这个命题可以由直角三角形的勾股定理推出:
- 设直角三角形三边分别为 、 、 ,其中
- 内接圆直径 ,因此
- 内接圆直径 + 斜边 =
- = 两直角边之和
后面出现的各问题,都根据这些公式中的相等关系而列出方程,然后求解。
李冶的692个公式中,有8个是错误的,只是因为数值吻合而被误认为成立。
新设第一率
编辑新设第二率
编辑新设第三率
编辑新设第四率
编辑第二卷
编辑- 正率14问
从第二卷开始,《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题,它们都是围绕着同一个题设背景而展开。 在第二卷开头,李冶作出了以后题目公用的总假设:
假令圆城一所,不知周径,四面开门,门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为乾地,其东北十字道头定为艮地,其东南十字道头定为巽地,其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法,一一设问如后。 |
这里的圆城就是指天地乾三角形的内切圆,其方向按照圆城图式里面东南西北四个点的位置而定(注意北在下方,东在左边,与现在通用的方位相反),所谓的“乾地”、“坤地”则是指圆城图式里面出现的乾点、坤点等等。以后的每个问题中要求的长度都是圆城的半径或直径。
接下来的问题都是已知某些线段的长度,问圆城的半径或直径。李冶在每一题的题目之后都先写出解法(代数演算),再给出演草(代入数值的计算)。
- 洞渊九容
开头十个问题,不需要天元方程。清代数学李善兰认为,第一个问题和《九章算术》的勾股容圆题目一样,第二问至第十问就是《自序》中提到的“洞渊九容”[5]。但李冶原书或《四库全书》李锐较本都没有这九个问题的细草,李善兰在《天算或问》一书中根据相似三角形原理求得各式,并以第二问为例阐明如下[6]:
又因:
所以
- 得
其余类推。 。
- 第一问:或问:甲乙二人俱在乾地,乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙,问径几里?
- 答曰:城径二百四十步。
勾股容圆
- 第二问:勾上容圆
- 第三问:股上容圆
- 第四问:勾股上容圆
- 第五问:弦上容圆
- 第六问:勾外容圆
- 第七问:股外容圆
- 第八问:弦外容圆
- 第九问:勾外容圆半
- 第十问:股外容圆半
- 天元术
从第十四题开始,引入天元术,将所求的未知量设为“天元”,然后根据识别杂记中给出的公式构造出两个天元式,另其相等,然后解方程得出答案。《测圆海镜》中天元式的次序,高次幂在常数项之上,和《益古演段》,《四元玉鉴》的相反。
- 第十四问
“或问出西门南行四百八十步有树,出北门东行二百步见之。问答同前”。
- 法曰:以二行步相乘为实,二行步相并为从,一步常法,得半径。
- 草曰:立天元一为半径,置南行步在地,
内减天元半径得股圆差:
又置乙东行步在地,内减天元,得勾圆差:
以勾圆差增乘股圆差得半段黄方幂:
又置天元幂以倍之,也为半段黄方幂;
因此,得
相消得:
解方程,得半径 。
第三卷
编辑- 边股17问 [7]
标题文字 | 已知 | 未知数x | 方程 |
---|---|---|---|
1 | < , | 直接计算 | |
2 | , | d | |
3 | , | r | |
4 | , | d | |
5 | , | d | |
6 | , | r | |
7 | , | r | |
8 | , | r | |
9 | , | r | |
10 | , | r | |
11 | , | r | |
12 | , | ||
13 | , | ||
14 | , | ||
15 | , | r | |
16 | , | 用洞渊九容公式计算 | |
17 | , | 用洞渊九容公式计算 |
第四卷
编辑- 底勾17问:已知 及另一边求直径d.[8]
。
第三卷边股问与第四卷同次第底勾问成对偶。
问 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
第二边 |
第五卷
编辑大股18问:已知 。[8]
问 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
第二边 |
第六卷
编辑大勾18问:
- 1-11,13-19已知a_{1},及另一边求直径d.[8]
- 12问:已知 及另边,求直径。
问 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
已知 | |||||||||||||||||||
第二边 |
第七卷
编辑明叀前18问;求直径d。[9]
问 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | , |
11 | , |
12 | , |
13 | , |
14 | , , |
15 | , |
16 | , |
17 | , |
18 | , |
第八卷
编辑- 边股17问:已知 三至八边,或其差,和,求直径d.[10]
问 | 已知 |
---|---|
1 | , , |
2 | , , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | , , |
11 | , , |
12 | , |
13 | , , |
14 | , |
15 | , |
16 | , |
第十四问
编辑- 或问:高差,平差并一百六十一步,明差叀差并七十七步,问答同前。
- 即:
草曰:[11]
已知
- 相加除2 ; 根据#杂用公式,等于皇极差:
- 设天元一为上平勾:
- =
- (杂用公式)
- 因为 (杂用公式)
- (圆城直径),
- 将 乘下高股
- 乘之以皇极弦幂:
- 因此
- 左右相消得:
- 解之得 ;
- 正合#今问正数中的下平勾。
第九卷上
编辑:大斜四问[12]
问 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
第九卷下
编辑:大和8问
- 边股17问:已知三边,求直径d[13]。
问 | 已知条件 |
---|---|
1 | , , |
2 | , , |
3 | , , |
4 | , , |
5 | , , |
6 | , , |
7 | , , |
8 | , , |
第十卷
编辑:三事和8问[14]
问 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
第十一卷
编辑- 杂糅18问:[15]
第十七问,十八问取自《洞渊算书》。
问 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | , |
11 | , |
12 | , |
13 | , , |
14 | , |
15 | , |
16 | , |
17 | (取自《洞渊算书》) |
18 | 取自《洞渊算书》 |
第十二卷
编辑- 之分14问[16]
问 | 已知 |
---|---|
1 | , = |
2 | , = |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , , |
7 | , , |
8 | , , |
9 | , |
10 | , |
11 | , , |
12 | , , |
13 | , , , |
14 | , , , , |
版本
编辑天元术并非李冶的独创,而是从金代起便在中国北方开始萌芽。据祖颐在《四元玉鉴后序》中的记载,李冶以前研究天元术的学者有北宋蒋周撰《益古集》、李文一撰《照胆》,石信道撰《钤经》、刘汝谐撰《如积释锁》等书,世人才知道有天元。此外朱世杰《四元玉鉴》引用北宋《洞渊九容细草》两道题,其中有“立天元一”[17]。后来李德载撰《两仪群英集臻》兼有地元。1306年元刻本《阴阳备用三元节要》三卷下有天元,地元[18]。但是这些早期天元术的著作已经失传。宋代《杨辉算法》保留蒋周《益古集》的一些条段法的题目,没保留天元术的内容。现存元刻本《阴阳备用三元节要》只有一条二元术题,《测圆海镜》是现存最早的系统地讲述天元术的著作。
到了明代,天元术因为艰深难懂而少人研究,几近失传。明代唐顺抄录过《测圆海镜》,但不懂天元术;顾应祥曾经撰写《测圆海镜分类释术》,但完全没有明白天元术中天元为未知数的含义,因而将《测圆海镜》中关于立天元列方程的演算全部删去,只留下用开方术解方程的过程,以便后人学习[19]。李俨认为宋金元发展起来的天元术至此已被遗忘[20]。《测圆海镜分类释术》一书,虽然删除了天元术内容,但保存了全部算题,也补入正确的几何学解法,使得几近失传的《测圆海镜》,得以从新流传[21]。
十八世纪时,随着西洋算学传入中国,李冶等人的天元术著作才被后来的数学家重新发现。戴东原从《永乐大典》中辑录出李冶《测圆海镜》[22];清朝梅瑴成(梅文鼎之孙)曾经研读元学士李冶的《测圆海镜》,对其中的天元之术感到不解,后来在研习西方的“借根方”法时发现所谓的“借根”就是“立天元”(都是设未知数),方才重新开始认识天元术[23][24]。之后,《四元玉鉴》等其它天元术著作也被重新认识。孔广森曾校对《测圆海镜》中的四章。乾隆三十八年(1773年),《四库全书》收录了李潢家藏本的《测圆海镜》。1798年,清代大藏书家鲍廷博刊印的《知不足斋丛书》中收录了李锐校勘的《测圆海镜细草》十二卷[25]。之后又有焦循和李锐在研究了《测圆海镜》、《益古演段》和《数书九章》后写的《天元一释》和《开方通释》两书,用较为明白的语言详细解释了李冶的天元术和秦九韶的正负开方术。1873年,张楚钟发表《测圆海镜通释》对《识别杂记》中的几百条定理,用几何方法逐条证明。
清代研究
编辑1896年刘岳云出版《测圆海镜解》,发现《圆城图式》中各线段的简单加减关系,发表《诸率加减表》,此后李善兰出版《测圆海镜解》等[26]。他在另一篇著作《天算或问》中给出勾股容圆各公式的统一公式。其后陈维祺发表《各率及较泛积表》将《识别杂记》用“泛积”概念统一表示[27]。王季同在《九容公式》中进一步发展了陈维祺的成果,发现[28]
- 极勾=(高股 * 平勾 +平勾^2)^(1/2)
- 极股=(高股 * 平勾 +高股^2)^(1/2)
- 半径=(高股 * 平勾 )^(1/2)
国际研究
编辑19世纪初,朝鲜数学家南秉哲著《海镜细草解》。
1913年,法国学者L.van Hoe 介绍《测圆海镜》。1982年,法国林力娜(K. Chemla)作论文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye,获得博士学位。1983年,新加坡大学教授蓝丽蓉发表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century,论述《测圆海镜》。
评价
编辑清代数学家对《测圆海镜》给予很高评价。阮元认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”,李善兰称赞它是“中华算书,无有胜于此者”。白尚恕说,《测圆海镜》的成就,超过同时期的印度,阿拉伯和欧洲,“处于世界数学里遥遥领先的地位”[29]
参考文献
编辑引用
编辑- ^ 中国古代数学,《测海圆镜》. [2009-10-31]. (原始内容存档于2020-10-23).
- ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》 《今问正数》 62-66 页 湖北教育出版社. 1995
- ^ 李冶 著 白尚恕 译 钟善基 校. 《测圆海镜今译》 24-25页 山东教育出版社. 1985.
- ^ 吴文俊主编 《中国数学史料大系》 第六卷 第二章 80页
- ^ 李冶《自序》“老大以来,得洞渊九容之说,日夕玩绎,而向之病我者,使爆然落去而无遗余”
- ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8,李俨《测圆海镜研究历程考》 45-48 页辽宁教育出版社. 1998
- ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8,李俨《测圆海镜研究历程考》75-88页
- ^ 8.0 8.1 8.2 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8,李俨《测圆海镜研究历程考》88-101页
- ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》169-184 湖北教育出版社. 1995
- ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》 192-208 湖北教育出版社. 1995
- ^ 白尚恕, 562-566页
- ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》. 205-208页 湖北教育出版社. 1995
- ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8,李俨《测圆海镜研究历程考》181-195页
- ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》220-224页 湖北教育出版社. 1995
- ^ 孔国平 著. 《测圆海镜今导读》234-248页 湖北教育出版社. 1995
- ^ 孔国平 著. 《测圆海镜今导读》255-263 湖北教育出版社. 1995
- ^ 孔国平著 《测圆海镜导读·引论》 6页 ISBN 7-5351-1972-7
- ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷10,李俨《中国数学的历史发展》 474页 辽宁教育出版社. 1998
- ^ 顾应祥,《测圆海镜分类释术》序:“每章去其细草,立一算术,……各以类分之,语义稍繁者,略加芟损,名曰《测圆海镜分类释术》。非敢僭改前贤著述,惟以便下学云尔”
- ^ 李俨,《中国算学史》,第七章第四 近世期(四)顾应祥
- ^ 孔国平,《测圆海镜导读序》
- ^ 梁启超《饮冰室合集》 第十卷 343页 《中国近三百年学术史》 中华书局
- ^ 柯劭忞等,《清史稿·列传二百九十三》畴人一:“明代算家,不解立天元术,瑴成谓立天元一即西法之借根方,其说曰;“尝读授时历草求弦矢之法,先立天元一为矢,而元学士李冶所著测圜海镜,亦用天元一立算。传写鲁鱼,算式讹舛,殊不易读。明唐荆川、顾箬溪两公互相推重,自谓得此中三昧。荆川之说曰:‘艺士著书,往往以秘其机为奇,所谓天元一云尔,如积求之云尔,漫不省其为何语。’而箬溪则言:‘细考测圜海镜,如求城径,即以二百四十为天元,半径即以一百二十为天元,即知其数,何用算为?似不必立可也。’二公之言如此,余于顾说颇不谓然,而无以解也。后供奉内廷,蒙圣祖仁皇帝授以借根之法,且谕曰:‘西人名此书为阿尔热八达,译言东来法也。’敬受而读之,其法神妙,诚算法之指南,而窃疑天元一之术颇与相似。复取授时历草观之,乃焕然冰释,殆名异而实同,非徒似之而已。”
- ^ 阮元,《畴人传》卷二十四,李冶传
- ^ 李冶,《测圆海镜细草》,知不足斋刻本
- ^ 李善兰,《测圆海镜解》,抄本,存中国科学院自然科学史研究所
- ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》24-30 湖北教育出版社. 1995
- ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》 30页 湖北教育出版社. 1995
- ^ 李冶 著 白尚恕 译 钟善基 校. 《测圆海镜今译》 1页 山东教育出版社. 1985
来源
编辑- 书籍
- 李人言. 《中國算學史》. 台湾商务印书馆. 1965年.
- 孔国平. 《李冶朱世杰与金元数学》. 河北科学技术出版社. 2000年. ISBN 978-7-537-51884-0.