浸没 (数学)

数学中，浸没（submersion）是微分流形之间的可微映射，其微分处处为满射。这是微分拓扑中的一个基本概念。浸没与浸入对偶。

定义

令M、N是微分流形， $f\colon M\to N$ 是它们间的可微映射。映射f是点 $p\in M$ 处的浸没，若其微分

Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N

是线性满射。^[1]这种情况下，p被称作映射f的正则点（regular point）；否则，p就是临界点。若原像 $f^{-1}(q)$ 中所有的点p都是正则点，则点 $q\in N$ 是f的正则值。在每点 $p\in M$ 上都是浸没的可微映射f也称作浸没，等价地，若f的微分 $Df_{p}$ 的秩等于N的维度，则f是浸没。

需要注意：有人用“临界点”描述f的雅可比矩阵的秩不取最大值的点。^[2]这在奇异理论中是更有用的概念。若M的维度不小于N的维度，则这两个临界点的概念是重合的；但若M的维度小于N的维度，则据上述定义，所有点都是临界点（微分不可能是满射），而雅可比矩阵的秩仍可能是最大的（若等于M的维度）。上述定义更常用，如在萨德定理的表述中。

浸没定理

给定m维、n维光滑流形之间的浸没 $f\colon M\to N$ ， $\forall x\in M$ ，有围绕x的M的满射图（chart） $\phi :U\to \mathbb {R} ^{m}$ 、围绕 $f(x)$ 的N的 $\psi :V\to \mathbb {R} ^{n}$ ，使得f限制到浸没 $f\colon U\to V$ ，用坐标表示为 $\psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ ，就变为普通的正交投影。应用中， $\forall p\in N$ ，f对应的纤维表示为 $M_{p}=f^{-1}(\{p\})$ ，可配备M的光滑子流形结构，其维度等于N与M维度之差。

该定理是反函数定理的结果（见反函数定理#流形）。

例如，考虑 $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ 由 $f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}$ 给出。雅各比矩阵是

{\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.

除原点外，这在每一点都有最大秩。另外，纤维

f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}

在 $t<0$ 时是空集， $t=0$ 时等于一个点。因此，我们只有一个光滑浸没 $f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},$ 与子集 $M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}$ 是 $t>0$ 时的2维光滑流形。

示例

任何投影 $\pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}$
局部微分同胚
黎曼浸没
光滑向量丛或更一般的光滑纤维化中的投影。微分的满射性是局部平凡化存在的必要条件。

球面之间的映射

浸没的一大类例子是高维球面之间的浸没，例如

f:S^{n+k}\to S^{k}

其纤维维度为n，这是因为纤维（元素 $p\in S^{k}$ 的反像）是n维光滑流形。那么，若取路径

\gamma :I\to S^{k}

并取拉回

{\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}

就得到了一种特殊的协边的例子，称作有框架协边。实际上，有框协边群 $\Omega _{n}^{fr}$ 与稳定同伦群密切相关。

代数簇族

另一大类浸没由代数簇 $\pi :{\mathfrak {X}}\to S$ 给出，其纤维是光滑代数簇。若考虑其底流形，则得到光滑流形。例如椭圆曲线的魏尔施特拉斯族 $\pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}$ 是被广泛研究的浸没，因为其包含了许多用于展示更复杂理论的技术，如交同调与错致层。这一族来自

${\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}$

其中 $\mathbb {A} ^{1}$ 是仿射线， $\mathbb {A} ^{2}$ 是仿射平面。由于考虑的是复簇，它们等价于复线与复平面 $\mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}$ 。注意我们实际上应该去掉 $t=0,1$ ，因为那里有奇点（有双根）。

局部正规形式

若 $f:\ M\to N$ 是p处的浸没， $f(p)=q\in N$ ，则在M中存在p的开邻域U、在N中存在q的开邻域V，在p处有局部坐标 $(x_{1},\ \ldots ,\ x_{m})$ ，在q处有局部坐标 $(x_{1},\ \ldots ,\ x_{n})$ ，使得 $f(U)=V$ ，且在这些局部坐标中的映射f是标准投影

f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).

可知，在可微映射 $f:\ M\to N$ 的作用下，N中的正则值q在M中的全原像 $f^{-1}(q)$ 要么是空的，要么是 ${\rm {dim}}M-{\rm {dim}}N$ 维微分流形，但可能不连通。这是正则值定理的内容（也叫浸没定理）。尤其是，若f是浸没，则 $\forall q\in N$ ，结论都成立。

拓扑流形的浸没

一般拓扑流形的浸没也是良定义的。^[3]拓扑流形浸没是连续满射 $f:\ M\to N$ ，使得 $\forall p\in M$ ，对p上的某连续图ψ、f(p)处的φ，映射 $\psi ^{-1}\circ f\circ \varphi$ 等于射影映射 $\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ （ $m={\rm {dim}}(M)\geq n={\rm {dim}}(N)$ ）。