數學中,浸沒(submersion)是微分流形之間的可微映射,其微分處處為滿射。這是微分拓撲中的一個基本概念。浸沒與浸入對偶。

定義

編輯

MN微分流形 是它們間的可微映射。映射f 處的浸沒,若其微分

 

線性滿射[1]這種情況下,p被稱作映射f正則點(regular point);否則,p就是臨界點。若原像 中所有的點p都是正則點,則點 f正則值。在每點 上都是浸沒的可微映射f也稱作浸沒,等價地,若f的微分 等於N的維度,則f是浸沒。

需要注意:有人用「臨界點」描述f雅可比矩陣不取最大值的點。[2]這在奇異理論中是更有用的概念。若M的維度不小於N的維度,則這兩個臨界點的概念是重合的;但若M的維度小於N的維度,則據上述定義,所有點都是臨界點(微分不可能是滿射),而雅可比矩陣的秩仍可能是最大的(若等於M的維度)。上述定義更常用,如在薩德定理的表述中。

浸沒定理

編輯

給定m維、n維光滑流形之間的浸沒  ,有圍繞xM滿射(chart) 、圍繞 N ,使得f限制到浸沒 ,用坐標表示為 ,就變為普通的正交投影。應用中, f對應的纖維表示為 ,可配備M的光滑子流形結構,其維度等於NM維度之差。

該定理是反函數定理的結果(見反函數定理#流形)。

例如,考慮  給出。雅各比矩陣是

 

除原點外,這在每一點都有最大秩。另外,纖維

 

 時是空集 時等於一個點。因此,我們只有一個光滑浸沒 與子集  時的2維光滑流形。

示例

編輯
  • 任何投影 
  • 局部微分同胚
  • 黎曼浸沒
  • 光滑向量叢或更一般的光滑纖維化中的投影。微分的滿射性是局部平凡化存在的必要條件。

球面之間的映射

編輯

浸沒的一大類例子是高維球面之間的浸沒,例如

 

其纖維維度為n,這是因為纖維(元素 的反像)是n維光滑流形。那麼,若取路徑

 

並取拉回

 

就得到了一種特殊的協邊的例子,稱作有框架協邊。實際上,有框協邊群 與穩定同倫群密切相關。

代數簇族

編輯

另一大類浸沒由代數簇 給出,其纖維是光滑代數簇。若考慮其底流形,則得到光滑流形。例如橢圓曲線的魏爾施特拉斯族 是被廣泛研究的浸沒,因為其包含了許多用於展示更複雜理論的技術,如交同調錯致層。這一族來自

 

其中 是仿射線, 是仿射平面。由於考慮的是復簇,它們等價於複線與複平面 。注意我們實際上應該去掉 ,因為那裡有奇點(有雙根)。

局部正規形式

編輯

 p處的浸沒, ,則在M中存在p開鄰域U、在N中存在q的開鄰域V,在p處有局部坐標 ,在q處有局部坐標 ,使得 ,且在這些局部坐標中的映射f是標準投影

 

可知,在可微映射 的作用下,N中的正則值qM中的全原像 要麼是空的,要麼是 維微分流形,但可能不連通。這是正則值定理的內容(也叫浸沒定理)。尤其是,若f是浸沒,則 ,結論都成立。

拓撲流形的浸沒

編輯

一般拓撲流形的浸沒也是良定義的。[3]拓撲流形浸沒是連續滿射 ,使得 ,對p上的某連續圖ψ、f(p)處的φ,映射 等於射影映射  )。

另見

編輯

腳註

編輯
  1. ^ Crampin & Pirani 1994,第243頁. do Carmo 1994,第185頁. Frankel 1997,第181頁. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004,第12頁. Kosinski 2007,第27頁. Lang 1999,第27頁. Sternberg 2012,第378頁.
  2. ^ Arnold, Gusein-Zade & Varchenko 1985.
  3. ^ Lang 1999,第27頁.

參考文獻

編輯

閱讀更多

編輯