浸沒 (數學)

數學中，浸沒（submersion）是微分流形之間的可微映射，其微分處處為滿射。這是微分拓撲中的一個基本概念。浸沒與浸入對偶。

定義

令M、N是微分流形， $f\colon M\to N$ 是它們間的可微映射。映射f是點 $p\in M$ 處的浸沒，若其微分

Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N

是線性滿射。^[1]這種情況下，p被稱作映射f的正則點（regular point）；否則，p就是臨界點。若原像 $f^{-1}(q)$ 中所有的點p都是正則點，則點 $q\in N$ 是f的正則值。在每點 $p\in M$ 上都是浸沒的可微映射f也稱作浸沒，等價地，若f的微分 $Df_{p}$ 的秩等於N的維度，則f是浸沒。

需要注意：有人用「臨界點」描述f的雅可比矩陣的秩不取最大值的點。^[2]這在奇異理論中是更有用的概念。若M的維度不小於N的維度，則這兩個臨界點的概念是重合的；但若M的維度小於N的維度，則據上述定義，所有點都是臨界點（微分不可能是滿射），而雅可比矩陣的秩仍可能是最大的（若等於M的維度）。上述定義更常用，如在薩德定理的表述中。

浸沒定理

給定m維、n維光滑流形之間的浸沒 $f\colon M\to N$ ， $\forall x\in M$ ，有圍繞x的M的滿射圖（chart） $\phi :U\to \mathbb {R} ^{m}$ 、圍繞 $f(x)$ 的N的 $\psi :V\to \mathbb {R} ^{n}$ ，使得f限制到浸沒 $f\colon U\to V$ ，用坐標表示為 $\psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ ，就變為普通的正交投影。應用中， $\forall p\in N$ ，f對應的纖維表示為 $M_{p}=f^{-1}(\{p\})$ ，可配備M的光滑子流形結構，其維度等於N與M維度之差。

該定理是反函數定理的結果（見反函數定理#流形）。

例如，考慮 $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ 由 $f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}$ 給出。雅各比矩陣是

{\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.

除原點外，這在每一點都有最大秩。另外，纖維

f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}

在 $t<0$ 時是空集， $t=0$ 時等於一個點。因此，我們只有一個光滑浸沒 $f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},$ 與子集 $M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}$ 是 $t>0$ 時的2維光滑流形。

示例

任何投影 $\pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}$
局部微分同胚
黎曼浸沒
光滑向量叢或更一般的光滑纖維化中的投影。微分的滿射性是局部平凡化存在的必要條件。

球面之間的映射

浸沒的一大類例子是高維球面之間的浸沒，例如

f:S^{n+k}\to S^{k}

其纖維維度為n，這是因為纖維（元素 $p\in S^{k}$ 的反像）是n維光滑流形。那麼，若取路徑

\gamma :I\to S^{k}

並取拉回

{\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}

就得到了一種特殊的協邊的例子，稱作有框架協邊。實際上，有框協邊群 $\Omega _{n}^{fr}$ 與穩定同倫群密切相關。

代數簇族

另一大類浸沒由代數簇 $\pi :{\mathfrak {X}}\to S$ 給出，其纖維是光滑代數簇。若考慮其底流形，則得到光滑流形。例如橢圓曲線的魏爾施特拉斯族 $\pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}$ 是被廣泛研究的浸沒，因為其包含了許多用於展示更複雜理論的技術，如交同調與錯致層。這一族來自

${\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}$

其中 $\mathbb {A} ^{1}$ 是仿射線， $\mathbb {A} ^{2}$ 是仿射平面。由於考慮的是復簇，它們等價於複線與複平面 $\mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}$ 。注意我們實際上應該去掉 $t=0,1$ ，因為那裡有奇點（有雙根）。

局部正規形式

若 $f:\ M\to N$ 是p處的浸沒， $f(p)=q\in N$ ，則在M中存在p的開鄰域U、在N中存在q的開鄰域V，在p處有局部坐標 $(x_{1},\ \ldots ,\ x_{m})$ ，在q處有局部坐標 $(x_{1},\ \ldots ,\ x_{n})$ ，使得 $f(U)=V$ ，且在這些局部坐標中的映射f是標準投影

f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).

可知，在可微映射 $f:\ M\to N$ 的作用下，N中的正則值q在M中的全原像 $f^{-1}(q)$ 要麼是空的，要麼是 ${\rm {dim}}M-{\rm {dim}}N$ 維微分流形，但可能不連通。這是正則值定理的內容（也叫浸沒定理）。尤其是，若f是浸沒，則 $\forall q\in N$ ，結論都成立。

拓撲流形的浸沒

一般拓撲流形的浸沒也是良定義的。^[3]拓撲流形浸沒是連續滿射 $f:\ M\to N$ ，使得 $\forall p\in M$ ，對p上的某連續圖ψ、f(p)處的φ，映射 $\psi ^{-1}\circ f\circ \varphi$ 等於射影映射 $\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ （ $m={\rm {dim}}(M)\geq n={\rm {dim}}(N)$ ）。