環(Ring)是由任意集合 R 和定義於其上的兩種二元運算(記作「」和「」,常被簡稱為加法和乘法,但與一般所說的實數加法和乘法不同)所構成的,符合一些性質(具體見下)的代數結構。
環的定義類似於交換群,只不過在原來「+」的基礎上又增添另一種運算「⋅」(注意我們這裏所說的「+」與「⋅」一般不是我們所熟知的四則運算加法和乘法)。在抽象代數中,研究環的分支為環論。
為集合, 和 為定義於其上的二元運算(一種二變量函數)。以下依照二元運算的慣例,將運算結果 和 分別簡記為 和 。
被稱為環,若它滿足:
- 為交換群 ,即:
- 結合律:對所有的 有
- 單位元:存在 ,對所有的 有 (可由上面的性質證明這樣的 是唯一的, 這樣的 稱為加法單位元)
- 反元素:對所有的 存在 使 (可以由上面的性質證明這樣的 是唯一的,通常簡記為 並稱為 的加法反元素)
- 交換律:對所有的 有
- 為半群,即:
- 結合律:對所有的 有
- 乘法對於加法滿足分配律,即對所有的 有:
-
-
其中 常會被暱稱為加法;類似的 會被暱稱為乘法,因為取 (實數系), 為普通的實數加法且 為普通的實數乘法的話, 顯然為環。而此時加法單位元顯然為實數 ,所以有時會偷懶的將一般環的加法單位元 簡寫為 。
所以慣例上仿造實數乘法把 簡寫為 ;而且因為實數乘法優先於實數加法,所以也會規定 是 的簡寫。此外還會仿造實數減法,會把 簡寫為 。
定義的分歧
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在1960年代以前,多數抽象代數的書籍並不將乘法單位元列入環的定義;有些不要求乘法單位元的作者,會將包含乘法單位元的環稱為「單位環」;反之,有些要求乘法單位元的作者,會將不含乘法單位元的環稱為「偽環」。
基本性質
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為環,則對所有 有:
I.
證明:
- (單位元)
- (式1等號兩邊於左側同乘 )
- (分配律)
- (式2, 式3)
- (式4等號兩邊於右側加 )
- (以反元素化簡式5)
可調換 和 的順序, 仿上證明 。
II.
證明:
- (加法交換律、分配律、加法反元素)
- (上面的性質I)
故 的確是 的加法反元素,仿上可證明 也是 的加法反元素。
環的相關概念
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特殊的環
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- 么環
- 若環 中, 構成么半群,即 ,使得 ,有 ,則稱 為么環。此時么半群 的單位元 ,亦稱為環 的單位元。
- 交換環
- 若環 中, 還滿足交換律,從而構成交換半群,即 ,有 ,則稱 為交換環。
- 無零因子環
- 若 中沒有非 的零因子,則稱 為無零因子環。
- 此定義等價於以下任何一條:
- 對乘法形成半群;
- 對乘法封閉;
- 中非 元素的乘積非 ;
- 整環
- 無零因子的交換么環稱為整環。
例:整數環,多項式環
- 唯一分解環
- 若整環R中每個非零非可逆元素都能唯一分解,稱R是唯一分解環.
- 除環
- 若環 是么環,且 對 上的乘法形成一個群,即 , ,使得 。則稱 為除環。
- 除環不一定是交換環。反例:四元數環。
- 交換的除環是體。
- 主理想環
- 每個理想都是主理想的整環稱為主理想環。
- 單環
- 若么環R中的極大理想是零理想,則稱R為單環。
- 商環
- 質環
- 集環:非空集的集合 構成一個環,當且僅當它滿足以下幾個條件中任何一個:
- 對集合的並和差運算封閉,即:∀E,F∈R ⇒ E∪F∈R,E-F∈R;
- 對集合的交和對稱差運算封閉,即:∀E,F∈R ⇒ E∩F∈R,E△F∈R;
- 對集合的交,差以及無交並運算封閉。
- 這樣得到的集環以交為乘法,對稱差為加法;以空集為零元素,並且由於∀E∈R,E∩E=E·E=E,因此它還是布林環。
- 整數環是一個典型的交換且含單位環。
- 有理數環,實數體,複數域都是交換的含單位元環。
- 所有項的系數構成一個環A的多項式全體A[X]是一個環。稱為A上的多項式環。
- n為正整數,所有n×n的實數矩陣構成一個環。
環的理想
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考慮環 ,依環的定義知 是阿貝爾群。集合 ,考慮以下條件:
- 構成 的子群。
- ,有 。
- ,有 。
若 滿足條件1、2則稱 是 的右理想;若 滿足條件1、3則稱 是 的左理想;若 滿足條件1、2、3,即 既是 的右理想,也是 的左理想,則稱 為 的雙邊理想,簡稱理想。
- 整數環的理想:整數環 只有形如 的理想。
基本性質
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- 在環中,(左/右/雙邊)理想的和與交仍然是(左/右/雙邊)理想。
- 在除環中,(左/右)理想只有平凡(左/右)理想。
- 對於環R的兩個理想 、 ,記 。則由定義易知:
- 若 是 的左理想,則 是 的左理想;
- 若 是 的右理想,則 是 的右理想;
- 若 是 的左理想, 是 的右理想,則 是 的雙邊理想。
相關概念
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- 真(左/右/雙邊)理想
- 若 的(左/右/雙邊)理想I滿足: 是 的真子集,稱 為 的真(左/右/雙邊)理想。
- 極大(左/右/雙邊)理想
- 環 及其真(左/右/雙邊)理想 ,稱 為 的極大(左/右/雙邊)理想,若不存在 的真(左/右/雙邊)理想 ,使得 是 的真子集。
- 若 是極大(左/右)理想,又是雙邊理想,則 是極大理想。
- 極大雙邊理想不一定是極大(左/右)理想。
- 生成理想
- 環 , ,定義 ,則易知:
- 是環 的理想,並且 是 中所有包含子集 的理想的交,即 是 中包含子集 的最小理想。
- 若 為由子集 生成的理想,稱 為 的生成元集。當 是有限集時,稱 為 的有限生成理想。
- 下面是生成理想的幾種特殊情況:
- 當 是交換環時,
- 當 是么環時,
- 當 是交換么環時,
- 同一個理想,其生成元集可能不唯一。
- 主理想
- 由環 中單個元素生成的理想稱為 的主理想。即,設 ,則 稱為 的主理想。
- 質理想
- 真理想 被稱為 的質理想,若 理想 ,則 或 。
- 質環
- 若環 的零理想是質理想,則稱 是質環或質環。無零因子環是質環。在交換環 中,真理想 是質理想的充分且必要條件是: 是質環.
- 半質理想
- 環 的真理想 ,若 理想 , ,則稱 是環 的半質理想。
- 半質理想是一類比質理想相對較弱條件的理想,因為質理想是半質理想,但半質理想未必是質理想。
- 除環的零理想是極大理想。在有單位元的環中,如果零理想是其極大理想,稱這種環是單環。除環是單環,域也是單環。反之則不盡然,即存在不是除環的單環。
- 定理1:在整數環 中,由 生成的主理想是極大理想的充分必要條件是: 是質數。
- 定理2:設 是有單位元 的交換環。理想 是 的極大理想的充分且必要條件是:商環 是域。
- 定理3:設 是環 的左理想,則 是 的極大左理想的充分必要條件是對R的任意一個不含在 中的左理想J都有 。
有關環的其它概念
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- 設 是環中的非零元素,如果 ,稱 為左零因子;類似地可以定義右零因子。左零因子和右零因子通稱零因子。