理想 (序理论)
在数学分支序理论中,理想是偏序集合的一个特殊子集。尽管这个术语最初演化自抽象代数中环理想概念,它后来被一般化为一个不同的概念。理想对于序理论和格理论中的很多构造是非常重要的。
基本定义
编辑序理论中理想的最一般的定义如下:
偏序集合(P,≤)的非空子集I称为一个理想,若I满足:
理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下: 格(P,≤)的非空子集I是理想,当且仅当:
相关概念
编辑素理想
编辑一种特殊情况的理想是它的集合论补集是滤子的那些理想,滤子就是逆序的理想。这种理想叫做素理想。还要注意,因为我们要求理想和滤子非空,所有素理想都是真理想。对于格,素理想可以特征化为如下:
格(P,≤)的真理想I是素理想,当且仅当:∀x, y ∈ P,有x ∧ y ∈ I ⇒ x ∈ I或y ∈ I。
很容易发现这个定义实际上等价于声称P - I是滤子(它是在对偶意义上的素滤子)。
对于完全格有完全素理想的概念。它定义为带有额外性质的真理想I,只要某个任意集合A的交(下确界)在I中,A的某个元素也在I中。所以它是扩展上述条件到无穷交的特殊素理想。
素理想的存在一般是不明显的,并且在Zermelo-Fraenkel集合论中经常不能得出满意数量的素理想。这个问题在各种素理想定理中讨论,它们对于很多需要素理想的应用是必须的。
极大理想
编辑一个理想I是极大理想,如果它是真理想并且没有真理想J是严格大于I的集合。类似的,滤子F是极大滤子,如果它是真滤子并且没有严格大于它的真滤子。
当一个偏序集合是分配格的时候,极大理想和滤子必然是素的,而这个陈述的逆命题一般为假。
极大滤子有时叫做超滤子,但是这个术语经常保留给布尔代数,这里的极大滤子(理想)是对于每个布尔代数的元素a,精确的包含元素{a, ¬a}中的一个的滤子(理想)。在布尔代数中,术语“素理想”和“极大理想”是一致的,术语“素滤子”和“极大滤子”也是一致的。
还有另一个有趣的理想的极大性概念:考虑一个理想I和一个滤子F,使得I不相交于F。我们感兴趣于在所有包含 I并且不相交于F的所有理想中极大的一个理想M。在分配格的情况下,这样的一个M总是素理想。这个陈述的证明如下。
- 证明:假定理想M关于不相交于滤子F是极大性的。假设M不是素理想的一个矛盾,就是说,存在着一对元素a和b使得a b在M中但是a和b都不在M中。考虑对于所有M中的m,m a不在F中的情况。你可以通过采用这种形式的所有二元交的向下闭包构造一个理想N,也就是N = { x | x≤ m a对于某些M中的m}。很容易的察觉N确实是不相交于F的理想,它严格的大于M。但是这矛盾于M的极大性进而M不是素理想的假定。
- 对于其他情况,假定有某个M中的m带有m a在F中。现在如果在M中任何元素n使n b在F中,你会发现(m n) b和(m n) a都在F中。但因此它们的交在F中,通过分配性,(m n) (a b)也在F中。在另一方面,这个M的元素的有限交明显的M中,使得假定的n的存在性矛盾于两个集合不相交性。因此M的所有元素n有不在F中的与b的交。因此你可以应用上述与b的构造代替a来获得严格的大于M而不相交于F的一个理想。证明结束。
但是,一般而言是否存在这个意义上极大的任何理想M。然而如果我们在我们的集合论中假定选择公理,那么可以正式对于所有不相交的滤子-理想-对的M的存在。在要考虑的次序是布尔代数的特殊情况下,这个定理叫做布尔素理想定理。它严格的弱于选择公理,而理想的很多集合论应用不需要更多的东西了。
应用
编辑理想和滤子的构造在序理论的很多应用中是非常重要的工具。
- 在Stone布尔代数表示定理中,使用极大理想(或等价的通过反映射超滤子)来获得拓扑空间的点集,它的闭开集同构于最初的布尔代数。
历史
编辑理想由Marshall H. Stone首先介入,它的名字起源自抽象代数的环理想。这个术语源于如下事实,利用布尔代数和布尔环的范畴同构,这两个概念实际是一致的。
文献
编辑理想和滤子是序理论的最基本概念。参见序理论和格理论,和布尔素理想定理中的介绍。
一个在线免费专著:
- Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. (页面存档备份,存于互联网档案馆) Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.