理想 (序理論)

在數學分支序理論中，理想是偏序集合的一個特殊子集。儘管這個術語最初演化自抽象代數中環理想概念，它後來被一般化為一個不同的概念。理想對於序理論和格理論中的很多構造是非常重要的。

基本定義

序理論中理想的最一般的定義如下：

偏序集合(P,≤)的非空子集I稱為一個理想，若I滿足：

1. I是下閉的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
2. I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使x ≤ z，y ≤ z。

理想最初只在格上定義。與上述定義等價的定義如下： 格(P,≤)的非空子集I是理想，當且僅當：

1. I是下閉的。
2. I對於有限並（上確界）運算封閉，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。

相關概念

• 理想的序對偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是濾子。
• 術語有序理想或有序濾子有時用於任意的下部集合或上部集合，本文只使用「理想/濾子」和「下閉/上閉集合」來避免混淆。
• 真理想：偏序集合(P,≤)的理想I被稱為真理想，若I ≠ P。
• 包含一個給定元素p的最小理想稱為主理想，p被稱為該理想的主元素。主元素為p的主理想↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。

素理想

一種特殊情況的理想是它的集合論補集是濾子的那些理想，濾子就是逆序的理想。這種理想叫做素理想。還要注意，因為我們要求理想和濾子非空，所有素理想都是真理想。對于格，素理想可以特徵化為如下：

格(P,≤)的真理想I是素理想，當且僅當：∀x, y ∈ P，有x ∧ y ∈ I ⇒ x ∈ I或y ∈ I。

很容易發現這個定義實際上等價於聲稱P - I是濾子（它是在對偶意義上的素濾子）。

對於完全格有完全素理想的概念。它定義為帶有額外性質的真理想I，只要某個任意集合A的交（下確界）在I中，A的某個元素也在I中。所以它是擴展上述條件到無窮交的特殊素理想。

素理想的存在一般是不明顯的，並且在Zermelo-Fraenkel集合論中經常不能得出滿意數量的素理想。這個問題在各種素理想定理中討論，它們對於很多需要素理想的應用是必須的。

極大理想

一個理想I是極大理想，如果它是真理想並且沒有真理想J是嚴格大於I的集合。類似的，濾子F是極大濾子，如果它是真濾子並且沒有嚴格大於它的真濾子。

當一個偏序集合是分配格的時候，極大理想和濾子必然是素的，而這個陳述的逆命題一般為假。

極大濾子有時叫做超濾子，但是這個術語經常保留給布爾代數，這裡的極大濾子（理想）是對於每個布爾代數的元素a，精確的包含元素{a, ¬a}中的一個的濾子（理想）。在布爾代數中，術語「素理想」和「極大理想」是一致的，術語「素濾子」和「極大濾子」也是一致的。

還有另一個有趣的理想的極大性概念：考慮一個理想I和一個濾子F，使得I不相交於F。我們感興趣於在所有包含 I並且不相交於F的所有理想中極大的一個理想M。在分配格的情況下，這樣的一個M總是素理想。這個陳述的證明如下。

證明：假定理想M關於不相交於濾子F是極大性的。假設M不是素理想的一個矛盾，就是說，存在着一對元素a和b使得a$\wedge$b在M中但是a和b都不在M中。考慮對於所有M中的m，m$\vee$a不在F中的情況。你可以通過採用這種形式的所有二元交的向下閉包構造一個理想N，也就是N = { x | x≤ m$\vee$a對於某些M中的m}。很容易的察覺N確實是不相交於F的理想，它嚴格的大於M。但是這矛盾於M的極大性進而M不是素理想的假定。

對於其他情況，假定有某個M中的m帶有m$\vee$a在F中。現在如果在M中任何元素n使n$\vee$b在F中，你會發現(m$\vee$n)$\vee$b和(m$\vee$n)$\vee$a都在F中。但因此它們的交在F中，通過分配性，(m$\vee$n) $\vee$(a$\wedge$b)也在F中。在另一方面，這個M的元素的有限交明顯的M中，使得假定的n的存在性矛盾於兩個集合不相交性。因此M的所有元素n有不在F中的與b的交。因此你可以應用上述與b的構造代替a來獲得嚴格的大於M而不相交於F的一個理想。證明結束。

但是，一般而言是否存在這個意義上極大的任何理想M。然而如果我們在我們的集合論中假定選擇公理，那麼可以正式對於所有不相交的濾子-理想-對的M的存在。在要考慮的次序是布爾代數的特殊情況下，這個定理叫做布爾素理想定理。它嚴格的弱於選擇公理，而理想的很多集合論應用不需要更多的東西了。

應用

理想和濾子的構造在序理論的很多應用中是非常重要的工具。

• 在Stone布爾代數表示定理中，使用極大理想（或等價的通過反映射超濾子）來獲得拓撲空間的點集，它的閉開集同構於最初的布爾代數。

• 序理論有很多完全過程，把偏序集合變成帶有額外的完備性性質的偏序集合。例如，一個給定偏序P的理想完全是P通過子集包含排序的所有理想的集合。這個構造產生了P所生成自由的有向完全偏序。進一步的理想完全充當從它的緊緻元素的集合重新構造任何代數有向完全偏序。

歷史

理想由Marshall H. Stone首先介入，它的名字起源自抽象代數的環理想。這個術語源於如下事實，利用布爾代數和布爾環的範疇同構，這兩個概念實際是一致的。

文獻

理想和濾子是序理論的最基本概念。參見序理論和格理論，和布爾素理想定理中的介紹。

一個在線免費專著：

• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

參見

• 濾子 (數學)
• 理想 (環論)
• 理想 (集合論)