柯西-利普希茨定理

在數學中,柯西-利普希茨定理(Cauchy-Lipschitz Theorem),又稱皮卡-林德勒夫定理(Picard-Lindelöf Theorem),保證了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西於1820年發表,但直到1868年,才由魯道夫·利普希茨給出確定的形式。另一個很常見的叫法是皮卡-林德勒夫定理,得名於數學家埃米爾·皮卡恩斯特·林德勒夫

局部定理

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E為一個完備的有限維賦範向量空間(即一個巴拿赫空間),f為一個取值在E上的函數:

 

其中UE中的一個開集I 中的一個區間。考慮以下的一階非線性微分方程

 

如果f關於t連續,並在U中滿足利普希茨條件,也就是說,

 

那麼對於任一給定的初始條件:  ,其中   ,微分方程(1)存在一個解  ,其中   是一個包含   的區間,  是一個從   射到   的函數,滿足初始條件和微分方程(1)。

局部唯一性:在包含點 的足夠小的 區間上,微分方程(1)的解是唯一的(或者說,方程所有的解在足夠小的區間上都是重疊的)。

這個定理有點像物理學中的決定論思想:當我們知道了一個系統的特性(微分方程)和在某一時刻系統的情況( )時,下一刻的情況是唯一確定的。

局部定理的證明

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一個簡潔的證明思路為構造一個總是滿足初始條件的函數遞歸序列 ,使得 ,這樣,如果這個序列有一個收斂點   ,那麼 為函數 不動點,這時就有 ,於是我們構造出了一個解 。為此,我們從常數函數

 開始。令
 

這樣構造出來的函數列 中的每個函數都滿足初始條件。並且由於    中滿足利普希茨條件,當區間足夠小的時候, 成為一個收縮映射。根據完備空間的不動點存在定理,存在關於 的穩定不動點,於是可知微分方程(1)的解存在。

由於收縮映射的局部穩定不動點只有一個,因此在足夠小的區間內解是唯一的。

最大解定理

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局部的柯西-利普希茨定理並沒有說明在較大區域上解的情況。事實上,對於微分方程(1)的任意解  ,定義一個序關係: 小於 當且僅當  ,並且  上的值與 一樣。在這個定義之下,柯西-利普希茨定理斷言,微分方程的最大解是唯一存在的

證明思路

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解的唯一性:假設有兩個不同的最大解,那麼由局部柯西-利普希茨定理可以證明其重疊部分的值相同,將兩者不同的部分分別延伸在重疊部分上,則會得到一個更「大」的解(只需驗證它滿足微分方程),矛盾。因此解唯一。

解的存在性:證明需要用到佐恩引理,構造所有解的併集。

擴展至高階常微分方程

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對於一元的高階常微分方程

 

只需構造向量 和相應的映射 ,就可以使得(2)變為 。這時的初始條件為 ,即

 

擴展至偏微分方程

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對於偏微分方程,有柯西-利普希茨定理的擴展形式:柯西-克瓦列夫斯基定理,保證了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

參見

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參考資料

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相關鏈接

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