直言三段论 是所有前提 都是直言命题 的演绎推理 。
例子:
所有动物都会死。
所有人都是动物。
所以,所有人都会死。
前两个命题 被分别称为大前提 和小前提 [1] 。如果这个三段论是有效的 ,这两个前提逻辑上蕴含了最后的命题,它叫做结论 。结论的真实性建立在前提的真实性和它们之间的联系之上:中项 在前提中必须周延 (distribute)至少一次,形成在结论中的主词和谓词之间的连接。即使直言三段论 是有效的,但如果有前提为假的话结论仍可能是假,例如以下的三段论:
所有的鱼都在水里游。
乌鸦是鱼。
所以,所有的乌鸦都在水里游。
此为第一格AAA三段论,为有效,但是因为前提是错的(乌鸦事实上不是鱼),因而导致结论为假。
语气和格式
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对立四边形 图,揭示传统逻辑四种命题语气的关系(红色表示非空,黑色表示空)
三段论形式如下:
大前提:所有M是P
小前提:所有S是M
结论:所有S是P
其中S代表结论的主词 (S ubject),P代表结论的谓词 (P redicate),M代表中词(M iddle)。
三段论的命题可分为全称 (universal)、特称 (particular),及肯定、否定,组合起来有以下四类语气 (Mood):
类型
代号
形式
范例
全称肯定型
A(SaP)
所有S是P
所有人是会死的
全称否定型
E(SeP)
没有S是P
没有人是完美的
特称肯定型
I(SiP)
有些S是P
有些人是健康的
特称否定型
O(SoP)
有些S不是P
有些人不是健康的
三段论中,结论中的谓词称作大词 (P,或称大项),包含大词在内的前提称作大前提 ;结论中的主词称作小词 (S,或称小项),包含小词在内的前提称作小前提 ;没有出现在结论,却在两个前提重复出现的称作中词 (M,或称中项)。大词、中词、小词依不同排列方式,可分成四种格 (Figure):
第1格
第2格
第3格
第4格
大前提
M-P
P-M
M-P
P-M
小前提
S-M
S-M
M-S
M-S
结论
S-P
S-P
S-P
S-P
将以上整合在一起,三段论的大前提、小前提、结论分别可为A、E、I、O型命题之一,又可分为4格,故总共有256种三段论(若考虑大前提与小前提对调,便有512种,但逻辑上是相同的)。
三段论依语气与格的分类缩写,例如AAA-1 (也可以写成1-AAA )代表“大前提为A 型,小前提为A 型,结论为A 型,第1 格”的三段论。
此外,三段论的四种格之间可相互转换:
第1格:对换大前提的前后两项的位置就变成第2格,对换小前提的前后两项的位置就变成第3格。
第2格:对换大前提的前后两项的位置就变成第1格,对换小前提的前后两项的位置就变成第4格。
第3格:对换大前提的前后两项的位置就变成第4格,对换小前提的前后两项的位置就变成第1格。
第4格:对换大前提的前后两项的位置就变成第3格,对换小前提的前后两项的位置就变成第2格。
E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置,但可以在前项确实有元素存在的前提下,转换成弱于原命题的I命题(E命题亦可在后项确实有元素存在的前提下,转换成弱于原命题的O命题)。O命题不能对换前后两项的位置。
考虑各种直言三段论的有效性将是非常冗长耗时的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有论式。
还可以通过构造文氏图 的方法得到有效形式。因为有三种项,文氏图需要三个交叠的圆圈来表示每一个类。首先,为小项构造一个圆圈。临近小项的圆圈的是同小项有着交叠的大项的圆圈。在这两个圆圈之上是中项的圆圈。它应当在三个位置有着交叠:大项,小项和大项与小项交叠的地方。一个三段论是有效的,其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论,因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中,对M不与P交叠的所有区域加黑影,包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是,不能推出类P的所有成员都是类S的成员。
作为文氏图方法的另一个例子,考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”,它的小前提是“有些S是M”,它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S,它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而,我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x 符号来表示“有些S是M”。(注意:黑影区域和存在量化 区域是互斥的)。接着因为存在符号位于S内但在P外,所以结论“存在一些S不是P”是正确的。
本文最后一节列出了所有24个有效论式的文氏图。
最后一种方法是记住下面非形式表述的几条规则以避免谬论 。尽管文氏图对于诠释目的是好工具,有人更喜欢用这些规则来检验有效性。
基本规则:
结论中周延 的词必须在前提中周延 (谬误:大词不当 、小词不当 )(若不能确定所有提及的集合非空,则一个项在结论中周延,当且仅当 该项在前提中周延)
中词必须周延 至少一次(谬误:中词不周延 )(若不能确定所有提及的集合非空,则中词必须刚好周延一次)
结论中否定命题的数目必须和前提中否定命题的数目相等:
二前提皆肯定,则结论必须为肯定(谬误:肯定前提推得否定结论 )
一前提是否定,则结论必须为否定(谬误:否定前提推得肯定结论 )
二前提皆否定,则三段论必无效(谬误:排它前提谬误 )
结论中特称命题的数目必须和前提中特称命题的数目相等:
二前提皆全称,则结论必须为全称(此条件适用于不能确定所有提及的集合非空的情况)
一前提是特称,则结论必须为特称
二前提皆特称,则三段论必无效
若一个三段论式满足以上的所有规则,就必定有效。
其他检查:
如果语境上不能假设所有提及的集合非空 ,部分推论将会无效(谬误:存在谬误 )
必须包含严格的三个词,不多不少。且须注意所有关键词和结构的语义是否一致(谬误:四词谬误 、歧义谬误 )
有效三段论式
编辑
加下划线者必须假设所有提及的集合非空才有效。
唯有第一格的所有有效三段论式的结论涵盖了AEIO全部四种命题,第二格的所有有效三段论式皆为否定结论(E或O),第三格的所有有效三段论式皆为特称结论(I或O),第四格的所有有效三段论式皆为否定结论或特称结论(E、I或O)。
第1格
第2格
第3格
第4格
AAA
AEE
AA I
AAI
EAE
EAE
EA O
EA O
AII
AOO
AII
AEE
EIO
EIO
EIO
EIO
AAI
AEO
IAI
IAI
EAO
EAO
OAO
AEO
在全部256种三段论式中,有24种有效,但是如果不能确定所有提及的集合为非空,则只有15种有效。
常犯的无效三段论式
编辑
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO
三段论式列表
编辑
总共有19个有效的论式,算结论弱化(全称弱化为特称)的5个论式则为24个有效论式,其中每一格刚好各有6个有效论式。为便于记忆,中世纪的学者将这些有效论式分别取了对应的拉丁语 名字,每个名字的加了下划线的元音 即是对应的语气:
第1格
第2格
第3格
第4格
Ba rba ra
Ca me stre s
Da ra p ti
Ba ma li p
Ce la re nt
Ce sa re
Fe la p to n
Fe sa p o
Da rii
Ba ro co
Da ti si
Ca me ne s
Fe rio
Fe sti no
Fe ri so n
Fre si so n
Ba rba ri
Ca me stro s
Di sa mi s
Di ma ri s
Ce la ro nt
Ce sa ro
Bo ca rdo
Ca le mo s
经典三段论式
编辑
下面列出的是亚里士多德 的《前分析篇 》中关于前3个格的14个三段论式。
所有M是P。
所有S是M。
∴ 所有S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}
没有M是P。
所有S是M。
∴ 没有S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
所有M是P。
有些S是M。
∴ 有些S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
没有M是P。
有些S是M。
∴ 有些S不是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
所有P是M。
没有S是M。
∴ 没有S是P。[2]
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow (\lnot M(x)))}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
没有P是M。
所有S是M。
∴ 没有S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
所有P是M。
有些S不是M。
∴ 有些S不是P。[3]
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
(
¬
M
(
x
)
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land (\lnot M(x)))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
没有P是M。
有些S是M。
∴ 有些S不是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
所有M是P。
所有M是S。
∴ 有些S是P。
(这种形式需要假定有些M确实存在。)[4]
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\ {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
没有M是P。
所有M是S。
∴ 有些S不是P。
(这种形式需要假定有些M确实存在。)[5]
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
所有M是P。
有些M是S。
∴ 有些S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
没有M是P。
有些M是S。
∴ 有些S不是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
有些M是P。
所有M是S。
∴ 有些S是P。
∃
x
(
M
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land P(x))}{\exists x(P(x)\land M(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
有些M不是P。
所有M是S。
∴ 有些S不是P。
∃
x
(
M
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))}{\exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\quad \exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}{\cfrac {\exists x((\lnot P(x))\land S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}}
增补的论式
编辑
第4格由亚里士多德的学生泰奥弗拉斯托斯 补充[6] 。
所有P是M。
所有M是S。
∴ 有些S是P。
(这种形式需要假定有些P确实存在。)[7]
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
P
(
x
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\forall x(P(x)\rightarrow S(x))}}\quad {\cfrac {\exists xP(x)}{\exists x(P(x)\land P(x))}}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
没有P是M。
所有M是S。
∴ 有些S不是P。
(这种形式需要假定有些M确实存在。)[8]
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
所有P是M。
没有M是S。
∴ 没有S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
没有P是M。
有些M是S。
∴ 有些S不是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
有些P是M。
所有M是S。
∴ 有些S是P。
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\exists x(P(x)\land M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
结论弱化的论式
编辑
在假定结论的主词确定有成员存在的前提下,可弱化论式中的结论A为I,结论E为O,它们也可以被增补为有效论式,从而得到所有可能的24有效论式。它们是:AAI-1 (Barbari),弱化的AAA-1;EAO-1 (Celaront),弱化的EAE-1;AEO-2 (Camestros),弱化的AEE-2;EAO-2 (Cesaro),弱化的EAE-2;AEO-4 (Calemos),弱化的AEE-4。
对附加的谓词演算公式的注解
编辑
按照布尔逻辑 和集合代数 的观点,三段论可以解释为:集合 (类 )
S
{\displaystyle \,S\,}
和集合
M
{\displaystyle \,M\,}
有某种二元关系 ,并且集合
M
{\displaystyle \,M\,}
和集合
P
{\displaystyle \,P\,}
有某种二元关系,从而推论出集合
S
{\displaystyle \,S\,}
和集合
P
{\displaystyle \,P\,}
是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种:
A(全称肯定)命题:所有
M
{\displaystyle \,M\,}
是
N
{\displaystyle \,N\,}
,确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
“包含 于”
N
{\displaystyle \,N\,}
的关系,
M
{\displaystyle \,M\,}
是
N
{\displaystyle \,N\,}
的子集 ,
N
{\displaystyle \,N\,}
是
M
{\displaystyle \,M\,}
的超集 ,这是一种偏序关系 ,所有
L
{\displaystyle \,L\,}
是
M
{\displaystyle \,M\,}
,并且所有
M
{\displaystyle \,M\,}
是
N
{\displaystyle \,N\,}
,则所有
L
{\displaystyle \,L\,}
是
N
{\displaystyle \,N\,}
。所有
M
{\displaystyle \,M\,}
是
N
{\displaystyle \,N\,}
,并且所有
N
{\displaystyle \,N\,}
是
M
{\displaystyle \,M\,}
,则
M
{\displaystyle \,M\,}
同于
N
{\displaystyle \,N\,}
。
E(全称否定)命题:所有
M
{\displaystyle \,M\,}
不是
N
{\displaystyle \,N\,}
,确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
和
N
{\displaystyle \,N\,}
是“无交集 ”的关系,这是一种对称关系 ,所有
M
{\displaystyle \,M\,}
不是
N
{\displaystyle \,N\,}
,同于所有
N
{\displaystyle \,N\,}
不是
M
{\displaystyle \,M\,}
。(
L
{\displaystyle \,L\,}
与
M
{\displaystyle \,M\,}
无交集,并且
M
{\displaystyle \,M\,}
与
N
{\displaystyle \,N\,}
无交集,不能推出
L
{\displaystyle \,L\,}
与
N
{\displaystyle \,N\,}
无交集)。
I(特称肯定)命题:有些
M
{\displaystyle \,M\,}
是
N
{\displaystyle \,N\,}
,确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
和
N
{\displaystyle \,N\,}
是“有交集 ”的关系,这是一种对称关系 ,有些
M
{\displaystyle \,M\,}
是
N
{\displaystyle \,N\,}
,同于有些
N
{\displaystyle \,N\,}
是
M
{\displaystyle \,M\,}
。(
L
{\displaystyle \,L\,}
与
M
{\displaystyle \,M\,}
有交集,并且
M
{\displaystyle \,M\,}
与
N
{\displaystyle \,N\,}
有交集,不能推出
L
{\displaystyle \,L\,}
与
N
{\displaystyle \,N\,}
有交集)。
O(特称否定)命题:有些
M
{\displaystyle \,M\,}
不是
N
{\displaystyle \,N\,}
,确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
“不包含 于”
N
{\displaystyle \,N\,}
的关系。(
M
{\displaystyle \,M\,}
不包含于
N
{\displaystyle \,N\,}
,不能推出
M
{\displaystyle \,M\,}
包含
N
{\displaystyle \,N\,}
)。
将参与推理的命题分为两类:规则 和事实 ,全称命题是规则,而特称命题只陈述事实:
A命题:所有
M
{\displaystyle \,M\,}
是
N
{\displaystyle \,N\,}
,它允许两个推理方向,从肯定的
M
{\displaystyle \,M\,}
推出肯定的
N
{\displaystyle \,N\,}
,从否定的
N
{\displaystyle \,N\,}
推出否定的
M
{\displaystyle \,M\,}
。
E命题:所有
M
{\displaystyle \,M\,}
不是
N
{\displaystyle \,N\,}
,它允许两个推理方向,从肯定的
M
{\displaystyle \,M\,}
推出否定的
N
{\displaystyle \,N\,}
,从肯定的
N
{\displaystyle \,N\,}
推出否定的
M
{\displaystyle \,M\,}
。
I命题:有些
M
{\displaystyle \,M\,}
是
N
{\displaystyle \,N\,}
,它确定了有些个体存在于
M
{\displaystyle \,M\,}
与
N
{\displaystyle \,N\,}
的交集 中。
O命题:有些
M
{\displaystyle \,M\,}
不是
N
{\displaystyle \,N\,}
,它确定了有些个体存在于
M
{\displaystyle \,M\,}
减
N
{\displaystyle \,N\,}
的差集 中。
两个规则可以推出一个新规则,一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实,两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作,因为推出的是两个否定 的合取 ,不属于这四种命题之一(此为互斥前提谬误 ),IE的组合都得出
P
{\displaystyle \,P\,}
不包含于
S
{\displaystyle \,S\,}
结论,不属于四种命题之一。有效的论式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA这8种组合和4种格共32种情况中检验。
首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中项分别位于两前提的主词和谓词位置上,所以是可直接推出结论。AA组合推出A,其中只有AAA-1是合理的,它推论出
S
{\displaystyle \,S\,}
包含于
P
{\displaystyle \,P\,}
的关系;第4格AA组合推论出
P
{\displaystyle \,P\,}
包含于
S
{\displaystyle \,S\,}
的关系,这不是四种命题之一,只能在
P
{\displaystyle \,P\,}
确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E,其中EAE-1和AEE-4是直接推出的,其中AEE-4需要对换结论E命题的主词和谓词位置,EAE-2和AEE-2分别是它们二者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。
AA和EA的第3格组合通过合成推理在中项确定有元素存在情况下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。AE第3格组合得出
P
{\displaystyle \,P\,}
不包含于
S
{\displaystyle \,S\,}
的结论,不属于四种命题之一。
其他论式都是一个全称命题作为规则,而另一个特称命题提出两个事实的合取,规则消去一个事实形成一个新事实,从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的,其中IAI-4需要对换结论I命题的主词和谓词位置,AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分别是它们三者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。OAO-3是直接推出的,它没有等价者。AOO-2没有等价者,这里对A命题采用了否定后件推理,历史上采用反证法,假定结论O命题不成立,它与大前提A命题推出与小前提O命题矛盾的结果,所以结论成立。
历史上,对于AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4,如它们的拉丁语名字中的P所指示的,通过把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它们不是直言的(直言的意思就是无条件),这个问题被称为存在性引入问题 。
最后,有全称结论的5个论式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化结论可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4,也可算入有效论式中。
24论式图示
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下表以文氏图 展示24个有效直言三段论,不同栏表示不同的前提,不同外框颜色表示不同的结论,需要存在性预设 的推理以虚线与斜体字标示。
^ 中国社会科学院语言研究所词典编辑室. 现代汉语词典 2016年9月第七版. 商务印书馆. 2016: 1121 -1122 [2020-07-05 ] . ISBN 978-7-100-12450-8 (中文(大陆简体)) . .......【三段论】.......由大前提和小前提推出结论。如“凡金属都能导电”(大前提),“铜是金属”(小前提),“所以铜能导电”(结论)。.......
^ 这个论式还可以推导为:
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}}}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
^ 这个论式还可以采用反证法 来推导:
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
¬
(
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
⊥
⟹
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\lnot (\exists x(S(x)\land \lnot P(x)))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}{\forall x(S(x)\rightarrow M(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x((\lnot M(x))\land S(x))}}}{\cfrac {\exists x((\lnot M(x))\land M(x))}{\bot }}}\\\implies &{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}\end{aligned}}}
或者:
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
¬
(
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
∧
P
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
⊥
⟹
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {{\cfrac {\lnot (\exists x(S(x)\land \lnot P(x)))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x((\lnot M(x))\land S(x))}}}{\exists x((\lnot M(x))\land P(x))}}}{\cfrac {\exists x((\lnot M(x))\land M(x))}{\bot }}}\\\implies &{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}\end{aligned}}}
^ 直接结论是:所有M是P且S。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow (P(x)\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land P(x)))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
^ 直接结论是:所有M是S且非P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
¬
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
^ 在亚里士多德 《前分析篇 》里关于AEE-2的论证中,对小前提进行对换主词与谓词位置之后,得出第4格的AEE-4,亚里士多德称之为再次得到了第1格,没有因为大项和小项位置颠倒而专门称之为第4格。在亚里士多德的定义中第1格为中项既是一个前提的主词又是另一个前提的谓词。第4格中有4个论式是其他格的等价形式、1个论式是结论弱化形式,因此亚里士多德三段论体系并无缺失。
^ 直接结论是:所有P是S。
^ 直接结论是:所有M是S且非P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
¬
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
Aristotle , Prior Analytics . transl. Robin Smith (Hackett, 1989)ISBN 0-87220-064-7 .
Blackburn, Simon , 1996. "Syllogism" in the Oxford Dictionary of Philosophy . Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8 .
Broadie, Alexander, 1993. Introduction to Medieval Logic . Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0 .
Irving Copi , 1969. Introduction to Logic , 3rd ed. Macmillan Company.
Hamblin, Charles L. , 1970. Fallacies , Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5 . Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“
Jan Łukasiewicz , 1987 (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic . New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242 . OCLC 15015545.
外部链接
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