相交理论(Intersection theory)是代数几何的主要分支之一,给出了给定代数簇的两个子簇的交点信息。[1]簇理论更老,源于曲线上的贝祖定理消去理论;拓扑理论更快地达到了确定形式。

相交理论仍在不断发展。目前的主要重点是:虚基本循环、量子相交环、格罗莫夫-威滕量及将相交理论从概形推广到[2]

拓扑相交形式

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维度2n连通有向流形M相交形式是通过对H2n(M, ∂M)中的基类[M]上积求值,从而定义在第n上同调群(通常称作“中维”)。确切地说,有双线性形式

 

由下式给出

 

其中

 

n为偶数时这是对称双线性形式(因此2n = 4k),这时M符号数被定义为形式的符号数;n为奇数时,则定义为交替形式。这些形式可统称为ε对称形,当中ε = (−1)n = ±1分别表示对称形和斜对称形。某些情况下,可以将形式细化为ε二次型,但需要额外数据,如切丛的框架。也可以去除有向性条件,改用Z/2Z系数。

这些形式是重要的拓扑不变量。例如,迈克尔·弗里德曼的一个定理指出,在同胚意义上,单连通4维流形(几乎)由其相交形式决定。


庞加莱对偶性,我们可以从几何角度思考这个问题。试为ab的庞加莱对偶择有代表性的n维子流形AB,则λM (a, b)AB的有向交数(oriented intersection number),是良定义的,因为AB维数之和等于M的维数,所以它们通常交于孤立的点。这就是“相交形式”这一术语的由来。

代数几何中的相交理论

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威廉·富尔顿在《相交理论》(1984)中写道:

... 若AB是非奇异簇X的子簇,那么交积A · B应是代数循环的等价类,代数循环与AB、以及ABX中的几何位置密切相关。有两种情况最著名。若相交是真相交(proper),即dim(AB) = dim A + dim B − dim X,则A · BAB的不可约成分的线性组合,系数是相交乘数。在另一个极端,若A = B是非奇异子簇,则自交公式表示A · BXA法丛的顶陈类表示。

安德烈·韦伊《代数几何基础》(1946)中主要关注的是在一般情况下给出相交乘法的定义。1920年代,巴特尔·伦德特·范德瓦尔登的工作已经涉及这一问题;在意大利代数几何学派中,这观点已广为人知,但基础问题并未以同样的精神得到解决。

移动循环

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要使循环VW的相交机制运行良好,就不能只取循环的交集VW。若两个循环处于“良位置”,则“交积”V · W就应包含两个子簇的交集。循环若处于“不良位置”,例如平面上的两条平行线,或包含直线的平面(在3维空间相交),相交都应该只有一个点,因为若要移动一个循环,这就是交点。两循环VW的交集VW余维若等于VW余维之和,就称相交为“真相交”(proper intersection)。 因此,我们使用循环上适当等价关系的“移动循环”概念。等价必须足够广,以至任给两个循环VW都有等价循环V′W′使相交V′W′为真相交。当然,另一方面,对第二等价的V′′W′′V′W′需要等价于V′′W′′

就相交理论而言,“有理等价”是最重要的一种。简言之,若在簇X(r + 1)维子簇Y上有有理函数f,则X上的两r维循环有理等价;其中Y函数域k(Y)的元素或等价于函数f  : YP1,使得VW =  f−1(0) −  f−1(∞)(其中f−1(⋅)用乘法计算)。有理等价满足上述要求。

交乘

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线与抛物线的交点

定义循环的交乘的指导原则是一定意义上的连续型。请看下面这个简单例子:抛物线y = x2和轴y = 0的交点应为2 · (0, 0),因为若其中一个循环移动、接近所述位置时,两个交点恰好汇聚于(0, 0)(图中只描绘了方程的实解,会引起误解)。

第一个令人满意的交乘定义由让-皮埃尔·塞尔给出:令周围簇(ambient variety)X光滑(或所有局部环都正则),接着令VW都为(不可还原的闭)子簇,使其相交为真相交。这个构造是局部的,因此簇可用X的坐标环中的两个理想IJ表示。设Z是交集VW中的一个不可约成分,z为其一般点。则Z在交积V · W中的乘法定义为

 

函子环的挠群(torsion group)z中的X的局部环长度上的交替和,对应子簇。这个表达式也称作“塞尔Tor公式”。 注释:

  • 第一个和
     
    的长度是对乘法的“天真”猜测;但正如塞尔指出的,这还不充分。
  • 和是有限的,因为正则局部环 具有有限的Tor维度。
  • VW的相交不是真相交,则上述交乘的结果将为0。若是真相交,则其严格为正。(这两点从定义看并不明显)
  • 谱序列可以证明μ(Z; V, W) = μ(Z; W, V)

周环

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周环是循环模有理等价所得的群,以及下面的交换交积:

 

其中VW 横截着相交,而 是交集的不可约分解。

自交

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给定两子簇VW,可取其相交VW,但也可以定义单个子簇的自交,方法要微妙些。

例如,给定面S上的曲线C,其与自身的相交就是自身:CC = C。这虽然对,但不够好:任给曲面上两条不同的曲线(没有共同分量),它们相交于某个点集。可以数出点集包含的点数,得到“交数”。我们希望能对给定曲线左同样的处理:不同曲线的相交就像两个数相乘:xy,自交就像乘方:x2。形式上,这种类比就像是对称双线性形式(乘法)与二次型(乘方)。

其几何解法是,将曲线C与略微偏移的自身相交。在平面上这意味着将曲线C向某方向平移,但一般情况下我们谈论的是取与C线性等价的曲线C′,计算交C · C′的交点数,记作C · C。这不同于无关曲线CD的情形,前者的实际交点取决于C′的选择,但C′′的“自交点”可解释为C上的k一般点,且k = C · C。更恰当地说,C的自交点是C的一般点,乘法为C · C

或者,也可通过对偶话来代数地“解”这个问题,并查看[C] ∪ [C]的类——这既给出了一个数,又提出了几何解释问题。传递到上同调类,类似于用线性系统代替曲线。

自交数可以为负,如下所示。

例子

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考虑射影空间P2中的直线L:其自交数为1,因为所有直线与之相交1次。可以将L推到L′,对任意的L′的选择都有L · L′ = 1,于是L · L = 1。就相交形式而言,我们说平面有x2类型的相交形式(只有一类直线,且都互相相交)。

注意在仿射平面上,可以将L推移到平行线上,于是交点数取决于推离的选择。有人说“仿射平面没有很好的相交理论”,而非射影簇上的相交理论要困难得多。

P1 × P1(也可解释为P3中非奇异二次曲面Q)上的直线自交为0,因为直线可以从自身移开(是直纹曲面)。就相交形式而言,可以说P1 × P1有一个xy类型——有2类基本直线,相交于1点(xy),但自交为零(没有x2y2项)。

拉开

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自交数的一个重要例子是拉开的特殊曲线,是双有理几何中的一个核心运算。给定代数曲面S,在一点拉开,会产生一条曲线C,其属(genus)为0,自交数为-1(并不明显)。推论:P2P1 × P1最小曲面(不是拉开),因为它们没有任何具有负自交的曲线。事实上,卡斯泰尔诺沃收缩定理给出了相反的情况:每条(−1)曲线都是某个拉开的特殊曲线。

另见

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引用

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参考文献

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书目

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  • Eisenbud, David; Harris, Joe. 3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry. Cambridge University Press. 2016. ISBN 978-1-107-01708-5. 
  • Fulton, William, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-62046-4, ISBN 978-0-387-98549-7 MR1644323 
  • Fulton, William; Serge, Lang, Riemann-Roch Algebra, ISBN 978-1-4419-3073-6 
  • Serre, Jean-Pierre, Algèbre locale. Multiplicités, Cours au Collège de France, 1957--1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Lecture Notes in Mathematics 11, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1965, MR 0201468