稀疏网格是表示、积分或插值高函数的数值计算技术。最初是由俄罗斯数学家Sergey A. Smolyak (Lazar Lyusternik的学生)基于稀疏张量积构造发展。高效实现此类网格的计算机算法后来由Michael GriebelChristoph Zenger 开发。

维度诅咒

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表示多维函数的标准方式是采用张量或完全网格。故用于存储、运算的基函数或节点的数量与维数指数增加。即使以今天的计算能力,也不可能处理超过 4 或 5 维的函数。[来源请求]

维度诅咒可以表示为使用 个格点进行 阶积分积分误差。若函数的正则性为 ,即 次可微,维数为 ,则

 

Smolyak求积法则

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Smolyak 发现了基于单变量求积规则 的计算上更为高效的多维函数积分方法。对 维函数 ,Smolyak积分 一个函数的可以写成具有张量积的递归公式:

 

 的下标是离散化的水平,我们不妨令一维 阶的积分要对 个点求值。[1]正则性为 的函数的误差估计是:

 

延伸阅读

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外部链接

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  1. ^ Sparse Grid Basics. sparsegrids.org. [2022-01-10]. (原始内容存档于2022-01-10).