稀疏網格
稀疏網格是表示、積分或插值高維函數的數值計算技術。最初是由俄羅斯數學家Sergey A. Smolyak (Lazar Lyusternik的學生)基於稀疏張量積構造發展。高效實現此類網格的計算機算法後來由Michael Griebel和Christoph Zenger 開發。
維度詛咒
編輯表示多維函數的標準方式是採用張量或完全網格。故用於存儲、運算的基函數或節點的數量與維數指數增加。即使以今天的計算能力,也不可能處理超過 4 或 5 維的函數。[來源請求]
維度詛咒可以表示為使用 個格點進行 階積分積分誤差。若函數的正則性為 ,即 次可微,維數為 ,則
Smolyak求積法則
編輯Smolyak 發現了基於單變量求積規則 的計算上更為高效的多維函數積分方法。對 維函數 ,Smolyak積分 一個函數的可以寫成具有張量積的遞歸公式:
的下標是離散化的水平,我們不妨令一維 階的積分要對 個點求值。[1]正則性為 的函數的誤差估計是:
延伸閱讀
編輯- Brumm, J.; Scheidegger, S. Using Adaptive Sparse Grids to Solve High-Dimensional Dynamic Models. Econometrica. 2017, 85 (5): 1575–1612. doi:10.3982/ECTA12216.
- Garcke, Jochen. Garcke, Jochen; Griebel, Michael , 編. Sparse Grids and Applications (PDF). Springer. 2012: 57–80 [2022-01-07]. ISBN 978-3-642-31702-6. (原始內容 (PDF)存檔於2022-01-07).
- Zenger, Christoph. Hackbusch, Wolfgang , 編. Parallel Algorithms for Partial Differential Equations (PDF). Vieweg. 1991: 241–251 [2022-01-07]. ISBN 3-528-07631-3. (原始內容 (PDF)存檔於2022-01-22).
外部連結
編輯- 一種用於常規稀疏網格的高效內存數據結構 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- 稀疏網格上的有限差分格式 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- 稀疏網格上的可視化
- 稀疏網格上的數據挖掘,J.Garcke、M.Griebel (pdf) (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- ^ Sparse Grid Basics. sparsegrids.org. [2022-01-10]. (原始內容存檔於2022-01-10).