稀疏网格

稀疏网格是表示、积分或插值高维函数的数值计算技术。最初是由俄罗斯数学家Sergey A. Smolyak （Lazar Lyusternik的学生）基于稀疏张量积构造发展。高效实现此类网格的计算机算法后来由Michael Griebel和Christoph Zenger 开发。

维度诅咒

表示多维函数的标准方式是采用张量或完全网格。故用于存储、运算的基函数或节点的数量与维数指数增加。即使以今天的计算能力，也不可能处理超过 4 或 5 维的函数。^{[来源请求]}

维度诅咒可以表示为使用 $N_{l}$ 个格点进行 $l$ 阶积分积分误差。若函数的正则性为 $r$ ，即 $r$ 次可微，维数为 $d$ ，则

$|E_{l}|=O(N_{l}^{-{\frac {r}{d}}})$

Smolyak 发现了基于单变量求积规则 $Q^{(1)}$ 的计算上更为高效的多维函数积分方法。对 $d$ 维函数 $f$ ，Smolyak积分 $Q^{(d)}$ 一个函数的可以写成具有张量积的递归公式：

$Q_{l}^{(d)}f=\left(\sum _{i=1}^{l}\left(Q_{i}^{(1)}-Q_{i-1}^{(1)}\right)\otimes Q_{l-i+1}^{(d-1)}\right)f$

$Q$ 的下标是离散化的水平，我们不妨令一维 $i$ 阶的积分要对 $O(2^{i})$ 个点求值。^[1]正则性为 $r$ 的函数的误差估计是：

$|E_{l}|=O\left(N_{l}^{-r}\left(\log N_{l}\right)^{(d-1)(r+1)}\right)$

Brumm, J.; Scheidegger, S. Using Adaptive Sparse Grids to Solve High-Dimensional Dynamic Models. Econometrica. 2017, 85 (5): 1575–1612. doi:10.3982/ECTA12216.
Garcke, Jochen. Garcke, Jochen; Griebel, Michael , 编. Sparse Grids and Applications (PDF). Springer. 2012: 57–80 [2022-01-07]. ISBN 978-3-642-31702-6. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-07）.
Zenger, Christoph. Hackbusch, Wolfgang , 编. Parallel Algorithms for Partial Differential Equations (PDF). Vieweg. 1991: 241–251 [2022-01-07]. ISBN 3-528-07631-3. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-22）.